CHAPITRE III POSITION D'UNE COURBE PAR RAPPORT A SES TANGENTES

59. Pour étudier la position d'une courbe par rapport à l'une de ses tangentes, on peut transporter l'origine des coot données en un point de cette droite, ce qui revient à supposer que cette tangente passe par l'origine,

Soit f(v, v, w) - <?>, v) + ir ?u , .,{«, v) + »»?.,,(«, ») + ■•■ = l'équation de la courbe supposée de classe m, les fonctions e étant homogènes et de degré indiqué par l'indice.

Les coordonnées des tangentes menées par l'origine vérifient les équalions

La fonction o„,(u, v) est décomposable en un produit de m facteurs linéaires de la forme au + $v, et à tout facteur de ce genre correspond une tangente à la courbe passant par l'origine ; les paramètres directeurs de cette tangente sont 3 et fi, et ses coordonnées sont — fî, *, 0.

On peut reconnaître très aisément l'ordre de multiplicité de cette tangente.

On a en effet

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62 COOBDOXXÉES TAXGESTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE

Pour que la tangente soit simple, il faut que fù, /','., f,! ne soient pas nulles en môme temps pour les coordonnées de cette tangente. Comme w est nul, il suffit de considérer les premiers termes o^(u, o), o^[w, v), ?„,(«, v) des trois dérivées.

Si le facteur wa-i-up est facteur simple de o,„{u, v), les deux dérivées o,;, et tp,', ne sont pas nulles en même temps, la tangente est simple.

Si le facteur wz+ufl est facteur multiple de o m , la tangente ne sera simple que si o„,i{u, v) n'est pas divisible par ce facteur.

f. 'équation du point de contact sera

D ? i(«, .) ■+■ V,i(», i>) + \V,(,, f) = (I, où l'on remplace u par — p et v par ï.

60. Supposons d'abord que le point de contact soit à distance finie, c'est-à-dire que le coefficient de W soit différent do zéro. On pourra alors transporter l'origine en ce point (formule [5"| du numéro 3 i) ; nous pouvons supposer que ce calcul a été préalablement fait ; alors, parmi les tangentes issues de l'origine à la courbe, il y en a au moins deux qui sont confondues avec la tangente considérée; par conséquent ?„,(«, v) doit admettre aumoins deux fois le facteur m-l-op W.

Nous allons étudier la position d'une tangente infiniment voisine de la droite D, et pour cela il sera commode de ne conserver que deux coordonnées.

Supposons que la droite D ne soit pas confondue avec 0)/,

c'est-à-dire » 96 0. On pourra supposer que v conserve une

valeur constante, nous poserons v = — 1, de telle sorte que

u désignera le coefficient angulaire et tr l'ordonnée h l'origine.

H Posons — = W[

.'équation du point do e

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POSITION D'USE COUItHE 63

L'équation peut alors s'écrire

tym[u)-htoty„^ i {u) + ic i ty m ^u)+ = 0,

et, d'aprùs l'hypothèse qui précède, ù m [u) est divisible par (u — Mi) 2 , ce qui donne

+.(«) = j(u>-»,i' !(«WO.

Quand tv cstiniinimentpotit, l'équation est vérifiée par deux valeurs infiniment petites de h — ni ; on a aisément leurs parties principales en appliquant la méthode de Puiseux :

On ne peut donner à w que des valeurs du signe de

Si on suppose — y' ' > 0, nous donnerons à w des valeurs négatives et on aura pour u — u y des valeurs positives et négatives, ce qui revient à dire que les tangentes voisines auront des ordonnées à l'origine négatives et leurs coefficients angulaires, l'un supérieur, l'autre inférieur à w,.