Déterminons maintenant les points
de contact de ces tangentes. Nous allons établir que tout point de contact d'une tangente inliniment voisine est toujours au-dessus de la droite D si w est négatif, et au-dessous si w est positif.
Remarquons d'abord que u — u, est toujours, par rapport à w, d'ordre infinitésimal inférieur à l'unité.
Car si on cherche les coordonnées du point de rencontre de la droite D et de la tangente voisine, c'est-à-dire si on résout les deux équations
y — w.as = ,
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t>4 COORDONNÉES TANGEX'j
on trouve
GÉOMÉTRIE PLANE
et comme x et y ont pour limite zéro, il faut que iv soit d'ordre infinitésimal supérieur à u — «,.
On aura donc pour une tangente voisine
u — «, = AW(l4- E ), î étant un infiniment petit et p < 1.
Or l'équation du point de contact de cette tangente voisine peut s'écrire
les coordonnées de ce poir.
fW
t donc
r.n négligeant les i
rient petits d'ordre supérieur, on a
«,',. — pA/t"'-' ; par suite
Cette expression est de signe contraire à «:, puisque p est plus petit que 1 ; c'est le résultat que nous avions annoncé et qui nous servira dans toute la discussion.
Alors dans le cas particulier qui nous occupe, où l'on a
r supposant
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POSITION D UKË COtJRBE
on aura les deux tangentes infiniment voisines de la droite D, AB et AC, et les points de contact seront situés au-dessus de la droite D.
Ou obtient ainsi la position de la courbe par rapport à la
langenti:.
62. Il peut arriver maintenant que | m (") contienne plus de deux fois le facteur (w — w,). Supposons par exemple que
On trouvera aisément pour les tangentes infiniment voisines
w — «i sera de signe contraire à ?f, et on aura la forme de courbe cicontre ; l'origine est un point de rebrou s sèment, et parmi les tangentes issues de ce pointa la courbe, il y en a trois confondues avec la droite 1).
Pins généralement, si
l'origine p tangentes confondues avec la
on peut mont
droite D ; on aura pour les tangentes voisines
Si p est pair, la courbe présentera la môme forme que dans la figure du numéro (il ; si p est impair, on aura un point de rebrou 9 sèment comme dans la figure précédente.
Nous avons ainsi la position de la courbe par rapport à une
tangenle simple dans tous les cas possibles, quand le point de contact i.'st h distance finie.
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66 COORIX'JISMÏKS TAM.ENÏIJ'I.I.KS.. !'i ÉOMliTIUE PLANE
63. Considérons, comme exercice, la cissoide qui a pour équation
la rident ici le (42)
4(<!M + ic) J + 2-la*vho = 0, En ordonnant par rapport aux puissances croissantes de ir, l'équation peut s'écrire
a s u» + ahv Vj v°- + 3« 2 J + 3«!^» -J- w' = 0.
I}uand to tend vers zéro, trois valeurs de m tendent vers zéro, l'axe Qx est une tangente simple et compte pour trois parmi les tangentes issues de l'origine: on aura pour les tangentes infiniment voisines, eu faisant v = — 1,
64. Supposons maintenant que le point de contact soit à l'infini; il faut pour cela que <(«, v) et <?'„,(", t>) ne soient pas nuls en mémo temps et que ?„,,(«, v) soit nul.
Ceci revient à dire que u — u, est facteur simple de tydv) et divise 4\b— i(w).
Posons
W«) = («-«i)ff(»). 9("0^O.
<>h ,,in,i )'■'■(() •• i- ' ■
avec la condition ^m-ifui) — 0.
Supposons d'abord ^m-sfui) ^ 0;
dans ce cas u — u, est infiniment petit du deuxième ordre,
et sa partie principale est donnée par la règle de Puiscux,
ce qui montre que u — w, a un signe constant. Pour la détermination du point de contact, on se reportera au numéro fil.
Quand le point de contact de la tangente D est à l'infini,
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rosn'jds n lm: cochbe b7
u — u, est d'ordre infinitésimal supérieure te, alors p est plus grand que 1 et Ton voit que y a — u^ a le signe de w. On aura alors sans peine la forme de la courbe.
Supposons parexemple — ~ — - >0;
-«i sera négatif quoi que soit w, et on aura la forme de courbe représentée par la figure ci-con-
65. Il peut arriver que le coefficient de !C 2 soit nul pour :«i. Si le coeflîcientde »; 3 est différent de zéro, u — «, i infiniment petit du troisième ordre, et on aura
et en supposant ""', T > °. on ob-
tiendra ladisposition ci-contre.
C'est le point de rebroussement il l'infini.
D'une manière générale, si on suppose
i infiniment petit d'ordre p; on aura
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3 TAMiEN'HKl.LKS. liÉOJIETllIJI l'I-ANE
Si p est pair, on aura laforme indiquée sur l' avant-dernière figure. Si p est impair, on se reportera h la dernière figure.
66. Considérons, comme exemple, l'équation Uuigcntielle de l'hyperbole rapportée à ses axes,
en y faisant v = — 1, on a
„s w î fti w s - o, ce qui donne les deux asymptotes passant par l'origine qui pour coefficients angulaires ± — ■ De l'équation on tire
et, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur.
posilif pour les ce qui donne la position de la ami'ln; repiésenlru par la figure ci-contre.
67. Supposons maintenant que la tangente D soit une tangente double; f,'„ fi et f,', doivent Otre nulles pour les coordonnées de cette droite. En se reportant aux expressions de ces dérivées données au numéro 59, on voit que ç'jw, v), ç'„(", «) et »m i(w, i>) doivent être nuls, ce qui exige que o m («, o) soit divisible par (aa-f-op}' et <? m ,(u, v) par us-t-up. On a aussi
fi. = 2 ? „j(«,") + 0«'?—»«. ») + -
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POSITION d'cxe couhbe 6i)
et ces six dérivées ne doivent pas être nulles en même temps. L'équation de l'ensemble des points de contact est
-+-2VW ? ^ ( («,«}+2W i < ?n ,^(«,«)=0.
Supposons que l'un des points de contact soit a distance Unie ; on pourra alors y transporter l'origine, et les coefficients de U 2 , UV, V 2 dans cette dernière équation seront nuls; par conséquent o„,(h, v) admettra trois fois le facteur m-t- v$.
En reprenant les notations du numéro 00, l'équation pourra s'écrire
pour séparer les irois valeurs inlioimenl petites de u — u u nous construirons le polygone de K Newton en supposant d'abord
| | | ?(«,) ^ 0, 9i (uJ jà 0, •%,*(>,) jt 0. \ Deux cotés sont à considérer.
-^ Nous poserons d'abord
et, en remplaçant dans l'équation, on aura pour déterminer ;,
ff(«.)s , -l-ffi(a.) = 0; "ii obtient ainsi
w ne peut avoir qu'un signe déterminé, on retrouve alors la forme représentée par lu figure du numéro 01. Pour l'autre côté du polygone on posera u — h, — zw\ mais alors, u — «, et ic étant inliniment petits de même ordre, le point limite d'intersection de cette droite et de la tangente I) a une position dilférente de l'origine ; nous obtenons le deuxième point de contact, qu'on peut étudier directement en transportant l'origine en ce point.
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IH'JORDOSNIÏES TAMiJ-IXTIELLES. fiKOMÉTHIE PI-ASË
Il peut arriver que y m (u, v) admette plus de trois fois le facteur Wï + uji; nous aurons à l'origine un point de re-
Iiroiissirninnl si l'exposant du facteur est pair, et un poinl. sans particularité géométrique si l'exposant est impair, comme on l'a vu aux numéros 61 et 62.
En résumé, dans le cas où les deux points de contact sont réels, distincts et à distance finie, on peut obtenir les figures suivantes :
68. Considérons comme exemple la courbe enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires. L'équation fangenlielle de cette courbe est
On voit que l'axe des œ ast tangente double, et que les deux points de contact ont pour abscisse? ± a.
Transportons l'origine en l'un de ces points, celui qui a pour abscisse a par exemple; l'équation devient
A¥-( W -ffl,] ! (« I +.»)=0 ou — a»w* + 2amc[tt- -H v') — io s (w a -+■ » s ) = 0,
ou en faisant r> = — i et changeant les signes,
ahS - 2auw{u* + i) + «,«{«> + 1) = 0.
Quand w tend vers zéro, quatre valeurs de u sonl infiiiinieiit [leliles ; donc par l'origine on peut mener quatre tangentes confondues avec l'axe 0*.
Pour séparer les valeurs infiniment petites de w, je construis le pulvLvine de Newton, dont le premier côté me donne trois valeurs
de u d'ordre — ; e
])OSil0l
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'■■MU... I' < I I l
On voit que M a sans cesse le signe île w, ce qui donne la forme ci-conlre.
T 69. Si i rv 2 i'>(i) était nul, le deuxième
i point de contact serait à l'infini ; on l'étu-
dierait comme plus haut(numéros 64 et 63).
Si g^u,) est nul, ^ m 2 (M,) étant différent de zéro, = m ,(«, «) contient deux fois le facteur ua+op, l'équation de l'ensemble des points de contact se réduit à
l'origine. Nous allons étudier la
ces points sont confondus position de la courbe.
L'équation pourra s'écrire
> - «,)'j(») + »{« - »,)',),(.<) + »'*,(«) + - = 0, ffi(u) n'ayant plus la môme signification que plus haut. En supposant d'abord g[u s ) différent de zéro, on a un seul cùté dans le polygone de Newton .
m — m, est infiniment petit d'ordre
i posai
: est déterminé par l'équation
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72 COORDONNÉES TASGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLASE
On voit ainsi que u — t signe constant quel que soit i Si on suppose
u — «, sera positif, et on aura la forme indiquée par la figure; l'origine est un point d'inflexion.
70. Supposons maintenant g(u,) = et £,(«,) ^0; l'équation s'écrit
1 et ; sera déterminé par l'équation
Posons 2 ! = ï; l'équation devient
Si cette équation a ses racines imaginaires, les tangentes voisines de la droite D sont imaginaires, il en est de même des points de contact.
Si cette équation a ses racines réelles et distinctes, soient t, et /,, les valeurs infiniment petites de u— ti, seront données par
et l'on a les ligures ci-dessus selon les signes de t, et de t<
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POSITION D LNE COURBE
71. S'il arrive que l'équation du second degré en t ail ses racines égales, il faut pousser plus loin la séparation des valeurs infiniment petites de w — Hj.
Posons u = w, + ; l'équation prend alors la forme
fi'tf («, H- 6) -H w6 s (?,(ui -+- 9) -+ w^,„^{u, -+- 8) H =0.
qu'on peut écrire
ou enenre
?(wi)(8'— ■») , +« , A 8 ) + « rt, / , it 8 î+» ,8 A( B ï+» , At 6 )+- = o»
A 9 )i A( 6 )- /à( fl )< AC) représentant des polynômes entiers en 6 ayant un terme indépendant, et a désignant la racine double de l'équation en (.
Supposons a>0; on ne pourra donner à w que des valeurs positives, et pour éviter les exposants fractionnaires nous poserons
sera, alors du premier ordre par rapport à w' ; en désignant par zio' sa partie principale, on aura, après avoir divisé par h/*,
équation de la forme
(* rf»)i + ÎHJ '[A3* -h Ba' -4- C] + w"0 (s) -+- - ■ = 0.
Si l'on suppose
M - A^ + BV' + C^O,
les valeurs de ; se séparent immédiatement :
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, en remplaçant ; par sa valeur -
Si — > 0, on ne pourra donner à iv' que des valeurs négatives dans la première expression, et des valeurs positives dans la deuxième, de sorle que a' étant positif, les deux valeurs réelles de seront négatives, et w est toujours positif. On aura donc la forme de courbe représentée par la figure ci-contre ; on dît que l'origine est un point de rehaussement de seconde
Pour continuer la discussion, il fau- /7 drait examiner le cas où M =0, puis
' ensuite supposer que le premier terme de
l'équation écrite au début du numéro 70,
contient plus de quatre fois le facteur u — m,, et ainsi de suite.
On étudiera de la même manière le cas de la tangente triple, quadruple, etc.; la méthode est toujours la même; elle consiste à développer u — w, en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de w.
