Tangentes par un point extérieur. — Soient
/ï... .', «•) = l'équation tangenUelle d'une.' courbe C, et a, £ les coordonnées d'un point A.
Les coordonnées des tangentes menées à la courbe par le point satisfont, comme nous l'avons déjà vu, aux deux équations
Le nombre de ces tangentes est égal h la classe de la courbe.
En éliminant v entre ces deux équations, on a une équation homogène en u et «,
/■[«, »,-(«. + «P)] = 0, qui détermine les directions de ces tangentes.
En y Taisant .* = m, r = — 1, on aura l'équation aux coefficients angulaires de ces tangentes.
On peut d'ailleurs obtenir cette équation plus rapidement en écrivant qu'une droite quelconque passant par le point A.
est tangente.
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TÀXUE.Vl'EK ET N0K.M.4LE5 1 I
75. Appliquons ce résultat au cas où la courbe est de deuxième classe,
f\u, v, te) — «w 2 H- aV + aW -\-2bvw-h'2,b'wu-h26"uv = 0; on aura pour l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues du point (s, 6)
aw ' +( ,' + 1 l"(p ma )2 2ô(p-ma)+24'm(P — met) — 2i*m = ou
m«(aV— at'u-a — 2m(a"ap— 2èi— 2ô'B+6*)-i-a"S J — 269+a'=0. Si l'équation représente une ellipse rapportée à ses axes,
ou une parabole rapportée à son axe et à sa tangente au sommet ,
f(u, b,w) = pu'- 2w< = 0,
les coefficients angulaires des tangentes menées par le point A seront donnés respectivement par les équations
p — 2m(p — ma) = 0.
76. On peut par le même procédé obtenir l'équation de l'ensemble de ces tangentes. Soit (as, y) un point d'une de ces Lin pentes ; comme elle passe parle point (', (J), son équation
et tout revient à écrire que cette droile est tangente, c'est-àdire que ses coordonnées satisfont à l'équation tangentielle de la courbe.
Il suffit de remplacer dans l'équation aux coefficients angulaires m par : , ce qui donne
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78 COORDONNÉES TANGE.YNELLE5. GEOMETRIE PLANE
ou, en chassant le dénominateur x — a,
77. Proposons-nous maintenant do déterminer l'équation tangentielle de l'ensemble des points de contact des tangentes issues du point A à la courbe C.
Soient «', v\ w les coordonnées d'une de ces tangentes; on a
Au', •, «o - o,
Écrivons qu'une droite (w, », w) passe par le point de contact de cette tangente ; on aura
«/:-+»/;■ + »ft' = 0.
En éliminant «', »', »" cotre ces trois équations, on aura l'équation cherchée.
L'élimination se fait aisément dans le cas où la combe est de deuxième classe ; car la dernière équation peut s'écrire
On a alors deux équations du premier degré en «', «', w' dont les solutions sont données par
en substituant dans la première, on obtient
On a ainsi une équation du deuxième degré en u, v, ic qui
représente les deux points de contact.
78. Remarque. — - En écrivant que dans cette équation le coefficient, de w 1 est nul, on a une relation entre a et fi exprimant que, parmi les tangentes issues du point A, l'une a son point de contact à l'infini; on peut donc dire que cette relation est l'équation de l'ensemble des asymptotes de la courbe considérer.
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TAXUlî.VJ i:S ET NORMALES (!)
On a de môme l'équation de l'ensemble des asymptotes d'une courbe quelconque de classe h, en formant l'équation des points de contact des tangentes issues d'un point, et annulant le coefficient de w" dans cette équation.
79. Tangentes parallèles à une direction donnée. — Soit m le coefficient angulaire de la direction donnée. Les coordonnées des tangentes parallèles à cette direction seront données par les équations
Si l'on veut les ordonnées à l'origine de ces tangentes, on écrira que la droite
est tangente, ce qui donne
équation en X qui détermine les ordonnées à l'origine.
En y remplaçant À par y — mx, on aura l'équation de l'ensemble de ces tangente-.
Les équations bien connues
y =: ma; ± i/a'm'-i- />',
relatives à l'ellipse et à la parabole, sont, des cas particuliers de cette équation.
