TANGENTES ET .NORMALES

qui précède est du second degré ; elle peut s'écrire ctpour qu'elle ait ses racines égales*, on doit avoir

<«/;+•/;+ «'.fii- -•»«», », »)/(»„ »., «',! = o.

On a ainsi l'équation des points de: rencontre de la droite et de la courbe.

On peut dire aussi que cette relation exprime que les deux droites (w„, v v , «?„) et (a, v, w) se coupent sur la conique.

84. Cherchons la condition pour que les deux points de rencontre de la droite (w , u„, ir ) et de la conique soient

réels.

f(u, v, w) = au*-\-a'vi + a"ici-h$ôvw-\-2l>'wu + 2b"uv —0 l'équation de la conique ; l'équation de l'ensemble des points de rencontre de cotte courbe et de la droite (u„, c , «.'„) peut s'écrire

(ufr + vf^-i-wf^-AfXu, v, w)f(u , o„ w.) = 0. Cette équation représentera deux points réels si l'on a (25)

;/;,'— s«vk, „„, »,)][/i;-Ji7K. »„, ».)]

On voit que /"(« u , t' c , w,) est en facteur, et la condition

devient

ou, en divisant par u=,

i désignant le discriminant de la fonction /(m, u, w).

Nous obtenons ainsi la signification géométrique du signe

du premier membre do l'équation tangculielle d'une conique.

Si /■(«„, v„, w„) est nul, la droite (w , v„ , w ) est tangente à la conique.

Si /"(«(,, c , '«■„) est de signe contraire à i, cette droite rencontre la conique en deux points réels.

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82 COORDONNEES TAXGEXTIELLES. GÉOMÉTRIE PLANE

Enfin, si /"(« , i> , ji:„) a le signe de a, la droite rencontre la conique en deux points imaginaires.

85. Si la droite donnée est à l'infini, c'est-à-dire si "o = v n~ °> l'équation aux points de rencontre représentera les points à l'infini de la courbe, elle sera homogène en u et v, elle détermine les directions asymptotiqnes. En y faisant w = m ot u = — 1, on aura l'équation aux coefficients angulaires de ces directions.

Examinons seulement le cas où f(u, v, w) est du deuxième degré. Supposons

f(u, v, w) = au" + oV -f-aV H- 2J»h,- + «fiou -H 26*ire = 0; l'équation des points de rencontre avec la droite k„, v , «■„

(*Ji + 'fl+vJ&-m<>, »,»)««.,»„ m.) = 0;

faisons u = t'„ = et «'„ = 1; il vient

ou

ou, en développant,

(f J — aa")« a +2«u(*6' — a"i") + (£- — o'a>' = 0, ou encore, en introduisant les mineurs du discriminant, AV — 2B*uo-t-Au' = 0;

l'équation aux coefficients angulaires des directions asymptotiqnes sera donc

A'm s -I-2B"«-HA = 0,

qui se déduit immédiatement de l'équation ponctuelle.