TANGENTES HT NORMALES
u, v, w satisfont à l'équation (1), et j'écris que son point de contact est sur la droite D ; on a ainsi
«./■.' ■+••.« +».fi = 0- (2)
Cette équation, jointe à (1), détermine les coordonnées des tangentes cherchées.
Si l'on suppose que la courbe soit algébrique et de classe m, l'équation (1) sera du m" degré, l'équation (2) de degré m — 1 ; nous aurons m'jn — 1) solutions ; le degré de la courbe est donc m(m — 1).
Cette conclusion est en défaut si la courbe admet des tangentes multiples, car les coordonnées de ces tangentes annulant /"{«, », w), fi, /',', /',', vérifient les équations (1) et (2) quels que soient u , u c , iv c .
On peut établir qu'une tangente double dont les points de conlacl son! distincts compte pour deux solutions; si les deux points de contact sont, confondus, c'est-à-dire si la tangente est d'inflexion, elle compte pour trois.
II en résulte que le degré de la courbe est inférieur à m(m — 1) si la courbe a des tangentes multiples ; si l'on désigne par t le nombre des tangentes doubles, par î le nombre des tangentes d'inflexion, et si l'on suppose que la courbe n'a pas de tangentes multiples d'ordre supérieur, le degré sera égal à
87. Si la droite donnée est à l'infini, les équations (1) et (2) se réduisent à
ft = 0;
elles déterminent les coordonnées des asymptotes.
88. Dans le cas particulier où la courbe est de deuxième classe, l'équation (2) peut s'écrire
Si l'on y considère w, v, «; comme des coordonnées cou-
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railles, elle représente un point, par lequel passent les tangentes menées il la conique aux points de rencontre avec la droite D ; ce point est donc le pôle de la droite D ; ses coordonnées sont fl , fi , f,',, .
Ainsi nous obtenons un résultat important. Si une droite D(m , u„, w„) est tangente à une conique d'équation
les coordonnées du point de contact sont fi , /',' et ('[,- ,
Si la droite n'est pas tangente, ces quantités sont les coordonnées homogènes du pôle de cette droite, l'équation de ce pôle pouvant s'écrire indifféremment
"A. + 'P. + <°iï. = °
OU
89. Normales et Développées-— Soit [«', c', w') une tangente à la courbe qui a pour équation
On aura
le point de contact a pour coordonnées f^, (!■', f!,,' ; la normale en ce point étant perpendiculaire ad a tangente, ses coordonnées ii, v, iv satisferont aux deux équations
ufc + *& + »&■ = 0-
wu' + »t/ — (uv'-\-vu') cos 6 = 0, désignant l'angle des axes.
En éliminant «', v\ w' entre ces trois équations, on aura une relation entre u, », te, que vérifieront les coordonnées de toutes les normales ; ce sera l'équation tangentielle de l'enveloppe des normales, c'est-à-dire de la développée.
On a donc ainsi une méthode pour obtenir l'équation tangenlielle de la développée d'une courbe, connaissant l'éqnnlïmi tangentielle de cette courbe.
L'élimination est fort simple dans le cas où la courbe est de
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TÀNGEXTES ET NORMALES 85
deuxième classe, car les deux dernières équations sont du premier degré ; on peut alors les résoudre par rapport à u'.
Ces équations s'écrivent
u'(u — v cos 0} ■+- v'{v — u cos 8) — ; on en déduit
v — u cos — (w — ïicose) {v — wcosO}/"u — (m — v cosB)/"f
{v— ucose)/;'„ —(u—ucosO)/;; (u— wcosfi)/;— (u— acosfl)/"i
En transportant ces valeurs de u', u', «;' dans la relation
/1V, »', ,:') = 0, on a
f[(v — w cos 0)/;, — (« — s cos 0)/,:., {u — v cos B)f'
— (v — u cos 0} fi] = 0.
Si les axes de coordonnées sont rectangulaires, l'équation se simplifie et devient
fivfL, -«A- «/?-»#) = 0.
Mais il est important d'observer que ces considérations ne s'appliquent qu'aux courbes dv. deuxième classe.
90. L'équation trouvée est du quatrième degré, par suite la développée est de quatrième classe; il y a cependant exception dans le cas où la conique est une parabole.
Nous verrons plus tard que dans ce cas le coefficient de wdans la fonction /"(«, », w) est nul, de telle sorte que le premier membre de l'équation de la développée est divisible par f,Ô. Si on égale ce facteur à zéro, on a l'équation d'un point à l'intini dans la direction de l'axe; ce résultat pouvait se voir a priori, car on sait que si une conique a centre se déforme de façon a avoir pour limite une parabole, panni les quatre normales qu'on peut mener d'un point à cette conique, l'une
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de ces normales a pour limite une parallèle à l'axe de la parabole. Il en résulte que les parallèles à l'axe d'une parabole peuvent fi Ire considérées comme des normales singulières, l'enveloppe de ces droites étant le point ii l'infini dans la direction de l'axe.
En supprimant alors le facteur f' w , il restera une équation du troisième degré en u, », w, qui sera l'équation tangentielle de la développée. Cette courbe est donc dans ce cas de troisième classe.
