Étant donnée la courbe us™ — y!' = 0, « d'un point de. la

courbe on lui mène de>.'.x ttinyrntus, la droite qui joint 1rs pointu de contact est tangente à la courbe.

On prend deux points arbitraires sur la courbe, ou détermine le

point ilt: concours ibis tangentes, et en écrivant que ce point est sur la courbe, on obtient la même condition qu'en écrivant que la droite joignant les points de contact est t. ingénie à la courbe.

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COOIIDÛ.VNÉES '1 AM.Ii.N" lli:i.LES. — • GÉOMÉTRIE PLASE

Voiiver l'équation au.:; coefficients' d'un point à une cissoïde, et l'èqm is points de contact.

es des tangentes ercle passant par

3. Etant donnée la courbe 4œ :( — 21y- = 0, trouver le lieu d'tu point tel que, pai-milrsiiingeiitrs issue-; de ce. point à la courbe, il y e;

ait de'.uc parallèles à dr.ua: tiiauu'-tre.s conjugués de la conique

4. Le lieu des commets des angles droits déclasse n est en général de degré n{n — 1).

5. Courbes parallèles. — Sur la normale en un point quelconque M d'une courbe C, on porte une longueur constante JiP ; le lieu du point P est une courbe Ci. Démontrer que les tangentes à ces deux courbes o.u.c points correspondants M et P sont parallèles ; c'est -pour cette raison que les courbes C et Ci sont appelées courbes jiora.lléies.

Déduire l'équation tanaenifllc. d- Ci '.!•' l'équation tangentiells

On peut établir géométriquement que le-* tangentes aux deux

Ciiui-Jies

ts correspondants sont parallèles. (J. Bertk*> Calcul différentiel, p. 12).

Soient M, M' deux points voisins de la courbe C ; prenons sur les normales en ces points les points P et P' tels que MP = M'P'. 11 s'agit de montrer que lorsque M' se rapproche indéiiniment de M, l'angle MPP' a pour limite un

•le dro M'K et P'K' perpendiculaires s KK' = M'P' cos o,

MP ; c

o désignant l'angle des deux normales ; donc

MP — KK' = MP(l — coso), et coin me MM', PP', ? sont infiniment petits du premier ordre, MP — KK' ou MK— PK' est infiniment petit dn deuxième ordre.

Dr MK = MM' cos M'MK.

5TMK a pour limite un droit, donc MK est infiniment petit du deuxième ordre ; il en est alors de même de PK'.

Ma: s

PK' = PP'

s P'PK'.

Comme PP' est du premier ordre, il faut que P'PK' .

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TAXGEKTES ET NORMALES «y

Analjtiquement, soient 2;, y les coordonnées du point M, a, p les cosinus directeurs de la normale ; les coordonnées X, Y du point P seront déterminées par

l désignant la longueur M!'.

On en déduit

<1X = dx + Ma,

dX = dij + ld?.

MulLipiiinis respectivement eus équations p.ir a et ''■, puis ajoutons :

ïrfX + prfY = xdx + pdy + l(adx+?dp).

Or, on a ^ -+- ? 2 = 1 ; on en déduit ccia + pd$ = 0.

D'autre part, on a aussi aiœ ■+■ 'id : j = 0, puisque la normale est

perpendiculaire à la tangente ; on en déduit

ïdX+^Y = 0,

, , , ,. dX dij

cest-a-dne -^ =: y

Soit alors fiu, v,w)= l'équation de la courbe C ; à toule tangente, »t+ti/ + ir = 0, de cette courbe correspond une tangente, ux + vy -\- te' = 0, de la courlie C L , telle que la distance de ces deux tangentes soit égale à l ; on a donc

les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.

On en déduit la valeurde w, et l'on voit que l'équation tangei tîelle de la courbe Ci est, après avoir supprimé l'accent de w.

Si la courbe G est une ellipse,

la courbe parallèle sera

ah? + ¥

„^}Ju'-i-v î Y =

OU [o?u- + ¥v i ~ «•■

r- + v ! ]] a = ifte^f