Trottrev l'enveloppe, d'une di-ni/r. de. Innijne.ur

C'esl une courbe du sixième degré, de quatrième cloldeà quatre rebrousscmerils.

Trouver la développée de cette courbe.

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90 COORDONNÉES TÀNGENTIFXLES. GÉOMÉTRIE l'LASE

7. Trouver l'équation tuiujeniielle. de la développée de la cissoïde

de Dioelès.

S. Podiiires. — On appelle podaire d'une courbe par rapport a un

point, le lieu des projections du point sur les tangentes à la courbe.

Trouver l'équation do la podaire d'une courbe définie par son

équation tonyenticHe.

On appelle podaire négative d'une courbe par rapport à un point une seconde courbe qui a pour podaire la première.

Etant donnée l'équation ponctuelle d'une courbe, déterminer l'équation t.nro'iC.rdieile de su podaire néi/ativt:. Examiner ••n po.rtiriu.ier le cas oit la courbe donnée e*l. une. droite nu mie. conique.

9. La différentielle de l'arc d'une podaire, i/tr, est donnée par la formule

du = oyi.ds,

du désignant, la di/iere.,uel/e de l'arc de la courbe, le point par i- ■apport a.'.'.qu.el on prend la podaire et M le point correspondaiiA de la courbe donnée,

10. Construire la podaire de l'origine ■ ■elutivemeut à la courbe qui

a pour équation ponctuelle x* -h//- 1 — a i = 0.

H. D'un point on peut mener 2;)i — p normales à. la courbe ym __ tnaaUf z= [m > p).

Dén-.onlrer qur. les pied-: des normales son', situés sur une conique indépendante de la râleur de a.

12. On donne doux droites Ox, Oy et une conique ; on mène une tangente earioble à la conique, qui rencontre Ox en A et Oy en li. On mène par A et Ë des parallèles à Oy et à Ox qui se coupent au point M. Teouxi'V le lieu t/éomc-'ri.qu.c de e<: point.

On trouve une courbe du quatrième degré ; déterminer ses asymptotes.

13. Nous avons obtenu au numéro 83 la condition qui exprime que deux droites {«, v, ic) et (w u , o , io ) se coupent sur la conique

fin, r, w ) = a«* + «'c*+... = 0.

Celte condition est

(u,f'-r-v,f; + ,c r;,..y-if[u, «, »!/-(«, , *>„, < = o. (ij

On peut mettre cette condition sous une autre forme remarqua-

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TANGENTES ET NORMALES 9f

tile en partant de l'équation ponctuelle de la conique T («M»,*) = A«» + AV + .-. = 0.

.Nous écrirons pour cela que la polaire du point de rencontre {*, y, s) des deux droites par rapport à la conique passe par ce point,

c'est à-dire qu'on a l'identité

x ? i + y?;+ z ? ; = a), («x + uy + «a) + 2>/(» x + v,\ + «gy,

ce qui donne, en égalant les coefficients de X, Y, Z, Aœ + B"y -H B'a — lu — ).'«„ = 0, B"^ + A'jr + Bj — >.u — l'o, - 0, B'» + By + A'i — ).»— À'w = 0,

uvec les relations

Ces cinq équations doivent avoir des solutions non toutes m x, y, z, X, À' ; pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'on ait A B" B' m 1

v 10 e w„ telle est la condition pour que les deux droites se coupent sur la

11 est aisé de déduire amdU.iquement la condition (1) de la condition (2).

Multiplions les éléments des trois premières colonnes du déterminant respectivement par ^ fâ, 5 fi, 5 fin et ajoutons ces produits aux éléments de la quatrième colonne, après avoir multiplié ces derniers par — A.

rs éléments de la quatrième colonne sont alors sèment que

i{Af«'+B , /ï + B'/'»') = i«.

i{B7y + A'/;: + B/Vi = Af,

3(B'/ï + B^+AVJ)= 4-e.

De mémo, multiplions les éléments des trois premières colonnes respectivement par -fy, -f,'- n , T> f,l^ et ajoutons ces produits aux éléments de la cinquième colonne multipliés par — a.

Les trois pre nuls, car on voi

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l'.IÎSTIELLKS. -

marque que le déterminant a été multiplié par A : , ( B" B'

iD = i/t». », »)«».. ».. ».) - (».« + "/; + »./•.')' ;

les conditions (1 ) et. (2) sont donc les mêmes.

Corrélativement, la condition pour que les deu\ points (x, y, ;), («oi 1/»t *u) soient situés sur une tangente à la conique, ou encore l'équation de l'ensemble des tangentes issues du point {»„, y , s ) à

cette conique pont s'écrire indifféremment

4?(aî, !/, 5)o;a7 , j/ , ; ) — (x 0? ; -+. y Q ol -+- *„?;,)»

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