CHAPITRE V CLASSIFICATION DES COURBES DE DEUXIÈME CLASSE

93. L'équation générale des courbes de deuxième classe est f(u, v, w) = tm a -ha'v'-ï-a"w 3 +'2.bvw->r2è'wu-i-Zb"uv = 0. (1) Nous rappellerons ici les notations et les formules fort importantes écrites déjà au numéro 25 ;

A = a'a" — b", B = b'b" — ab,

A"= aa' — b"\ B"= bb' — a"b",

A' A" — B a = a\ B'B" — AB = 4a,

AA' — Ti" 1 = o"A, DB' — A"B" = 6"a.

a désigne le discriminant de la fonction f[u, v, w); on a I a b" b' I 4 = b" a' b ; | 6' A a" I et les grandes lettres A, A', A", B, B', B" représentent les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement de A.

C'est, ainsi qu'on peut écrire

i = Aa -+- B"b" + B'b', i = B"6" -t- A'a' 4- B6, A = B'fr' -+■ B6 h- A" a",

Hosted by

94 C00KI3ONNÉES TA5GENTIËLLES. — GÉOMÉTRIE PLANE

en développant le déterminant par rapport aux éléments des lignes ou des colonnes.

Rappelons encore que l'équation ponctuelle de la conique

•f{x, y, z) = Ax> ■+- A'if -+- A'V ■+■ 2Byz + Wzx + 2B"xy = 0, et que l'on a

«• -t- fflj

h" il'

Si a = 0, o{x, y, s) est le carré d'une fonction linéaire qui, égalée .i zéro, représente la droite qui joint les deux peints dont l'équation (1) est l'équation tangenlielle.

94. Nous avons déjà étudié le cas où a = (23 et suivants) ; nous nous bornerons maintenant au cas où i ;é Û.

Une première classification est donnée immédiatement par la considération des points à l'infini.

Nous avons vu (88) que l'équation des points à l'infini de la conique représentée par l'équation (1) est AV — 2B"ut) -+- Au 3 = 0.

Le discriminant du premier membre est |AA' — B" s ou n"a-

Si a" A > 0, les points à l'infini sont imaginaires ; la conique est du genre ellipse.

Si a'A < 0, les points à l'infini sont réels et distincts ; la conique est du genre hyperbole.

Enfin, si a"\ — 0, c'est-à-dire si a" = (puisque nous supposons a^O), les points à l'infini sont confondus ; la conique est du genre parabole.

Dans ce dernier cas, d'ailleurs, l'équation (1) est satisfaite par les coordonnées de la droite de l'infini u = 0, v = ; on en conclut que la courbe est tangente à cette droite.