Premier cas. a" ^é
La conique est du genre ellipse ou hyperbole. On peut écrire
a"f[u, v, w) = (a"w + Vu + *»)" + AV + Ao' — 2B'W 1" Supposons que l'un des coeilicients A ou A' soit différent
de zéro, par exemple A' ^t 0.
On pourra écrire
a"f[u, v, w) = tf> w+ tFu+toY+j;(A!u-Wv)*~^ *+A*
f { u, v, w) = JLrA'{o"«'+A'«-r- *«)'-+-(*'«— B"«)* + a"AB*l
Faisons maintenant la transformation de coordonnées indiquée par les formules suivantes ;
Cela revient à prendre pour nouvelle origine 0' le point qui a pour coordonnées — — et — - , pour direction de l'axe des x' une parallèle à la droite qui joint l'origine au point de coor-
(II Nous plaçons au dénomîuatuur de l'expression de u' la quantité
t 'A''-:- 11" — JA'li ' i'iis 'J, :Uin 4110 li; jiuitil qui n f 1 1 ■ n 1 coni-Jonm'es
— ■ et - — - sait li l'unité de dls-
v'A : tr J — :'VJ; ,.;.,- ij , v ■ il ■ - iA'ir cusU
tance de l'origine, cuti tonné ment ;uin fomniles (fi; il 1 1 numéro 34.
96 coon dosées tasge^tiellbs.
données . -- et
v/A'^-i-B"* — 2A'JT cos 9 ^A'^-t-B"'— ÎA'B" cos <i l'axe des y' restant parallèle à Oy.
L'équation de la courbe devient alors
(A' 2 + B" 2 — 2A'B" cos 0)u" -t- fl'io's + AV*w' s = 0. On reconnaît là l'équation tangentielle d'une conique donj l'équation ponctuelle est (40)
A'- + B M — 2A'B" cos (l a"i Ma"
Si a"4 > 0, la conique est du genre ellipse. Cette ellipse est réelle si A' < 0, imaginaire dans le cas contraire.
Remarquons que dans ce cas A el A' sont de même signe et qu'on peut s'adresser à l'une ou à l'autre de ces quantités pour distinguer la réalité de la courbe.
Si a" a < 0, la courbe est une hyperbole.
Il est utile d'observer que, cette courbe élant rapportée à son centre, les coordonnées de ce centre sont par rapport aux
premiers axes — et — Tl .
2° Supposons maintenant A = A' — 0; B" doit être différent de zéro puisque
AA' — B" a = a"i^0.
Nous pouvons écrire
Faisons alors la transformation de coordonnées
l'équation devient
a"hc" — B"(i H- cos 0)u'» + B"(i — cos G) a'* = 0.
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CLASSIFICATION DES CONIQUES V l
et l'équation ponctuelle de coite courbe est
B"(l + cosO) B"(i — C08 6) a"*
Elle représente visiblement une hyperbole rapportée ù deux diamètres conjugués.
Remarquons que dans ce cas a" a est négatif, puisque celte quantité se réduit à — B" 2 .
Il en résulte que les conclusions de la première partie du premier cas sont générales pour ce cas, c'est-à-dire :
a"i > 0, ellipse réelle ou imaginaire, selon que les deux quantités de même signe A ou A' sont négatives ou positives ;
a" A < 0, hyperbole.
