Deuxième cas. a
Nous diviserons encore ce cas en deux parties.
1° Les deux coefficients a et a! ne sont pas nuls en même temps, par exemple a ^ 0.
Commençons la décomposition on carrés en ordonnant le premier membre par rapport aux puissances de u; on aura
af(u, v, W] =(au+b"v-hb'wy-ï~(aa!—t>**y~-Wb"—ab)vio—b'*W\
cl en supposant b' ^£ 0,
Remplaçons les deux premiers termes par un produit de deux facteurs, et remarquons que le coefficient de e* peut s'écrire
a(ab*-i-a'&* — *bb'b")
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Faisons la transformation de coordonnées :
l'équation prend la forme
B^ + toW = 0, qui représente une parabole dont l'équation ponctuelle est (40)
si/'* + 2a;' = ; on voit ainsi que lu direction asymploliquc qui est OV a pour paramètres directeurs b' et 6.
Si b' =0, on a
de sorte que ni u ni b ne peuvent être nuls.
On écrira alors
f{u, », w) = nu* + î>(2ô"u-+-a'»+2ÔM>)' Nous ferons la transformation de coordonnées :
l'équation devient
au'* -4- 26w>V = ;
elle représente une parabole dont l'équation ponctuelle est (40)
la direction asymplotique est O'y', c'est-à-dire 0;i/, puisque les nouveaux axes sont parallèles aux premiers.
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CLASSIFICATION DKS CONIQUES !)
On peut donc dire que cette direction a pour paramètre directeurs b' et b.
2° Supposons maintenant a = a' = 0.
On a
!^ = ïbb'b" ;
aucun des trois nombres b, b' ou b" ne peut être nul. On aura
f(u, », w) = 26ott' + 2i'w« + 26"uo.
On peut écrire
Faisons la transformation :
b'u -+- hv
JW
L'équation prend la forme
i/ J 4-2««V = 0; elle représente une parabole qui a pour équation ponctuelle
ay' 3 -+- 2^ = ; la direction asymptotique a encore pour paramètres directeurs b' et b.
