Exemples numériques
1° Considérons l'équation
Comme le coefficient de to a n'est pas nui, on voit tout de suite que la conique est une ellipse ou une hyperbole, on se réduit à deux points à distance iiriie. Un pourrait, pour distinguer ces différents cas, former l'expression de a ; mais il sera préférable d'opérer directement, car de la discussion résultera sans peine la position de la courbe dans le plan.
L'équation peut s'écrire, en décomposant en carrés, (ic -H «)" + «* — 2wn — « 2 = U (« + .)i+(«-.)»-2 B » = 0.
Supposons les axes de coordonnées rectangulaires, et faisons la transformation :
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CLASSIFICATION DES COXIQIJES 1U1
l'équation devient
et l'équation ponctuelle correspondante est
On reconnaît l'équation d'une lnperbole équilatère rapportée i lieux diamètre* conjugués.
Pour la construire, remarquons que le centre a pour équation
ses coordonnées sont donc et i, c'est le point ()'. La direction 0'»
a pour point directeur le point I ■=» — "T^l et 1 axe des y est
parallèle A 0;/. Il esl alors aisé do construire la courbe. Les asymptotes sont les bissectrices de OV etOy ; la courbe rencontre Oy aux points dont les ordonnées par rapport aux nouveaux axes sont ±/2, les tangentes en ces points Étant parallèles à OV.
(In peut remarquer que l'équation étant satisfaite pour « = 0, le = 0, la courbe est tangente à Ox au point qui a pour équa-
c'est-à-dire pour coordonnées — i et 0.
2" Cimstrurru la r.ourb» qui a pour èquat'u u 3 — 4ni> + 4t> 2 — 2uio ■+■ i
Comme le coefficient de w- est nul, l'équation représente i parabole ou un système de deux points dont l'un est à l'infini. Décomposons en carrés; l'équation s'écrit
10 Y — w 3 — Zvw —
mplacer par un produit et
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cooiiixi.VNKEs TA\f.K.vni;i.r.i;s. — (iKOïii'i'ntiK plane
l'équation devient
(lu — v\Zu — :
s lu (runsformation de
— 4i°) + 9u 3 iq ni ii]i m 1 es :
iSous supposon- les a*es primitifs Je coordonnées rectangulaires. Le point 0' a pour coordonnées — - et -• l'axe OV a pour paramètres directeurs 2 et — I, O'i/ est parallèle à Oy. 1, 'équation transformée delà courbe s'écrit
9u' 2 — Wic'ya"— 0.
L'équation ponctuelle est
!/ 2 #- !'«' = o ; elle représente une panihole aisée à construire. On peut remarquer en outre que l'origine est située sur ia courbe, attendu que les tangentes issues de ce point à la courLe, ayant leurs directions détermi-
= (w — 2d) 2 = 0, sont confondues. La tangente à l'origine a pour paramètres directeurs I et — 2.
Lu
représentait une parabole, puisque
l>le des termes du second degré en u et v.
3° Reconnaîtra la nature de ta conique dont l'êq\
»(3«- v) = 0, t immédiatement que l'équation v ne divise jias l'ensem-
■ l.avijiyiiiicltp
M 2 j Ad 2 -i- (la — 4)^2 — 2X»u> -+- 4wio — 3«w = 0.
■.! le-i iUi]'i;i-c.nk:s voleurs du purami'.i.re '■,
Ta plus commode dans les questions de ce genre de se repor-
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