On peut remarquer que les relations obtenues sont
huinogènes par rapport à u, u, w. Nous allons démonlrrr qu'il en est toujours ainsi , c'est à-dire que toute relation qui est la traduction niioJ.ijti.qui: d'une condition géométrique, est nécessairement hontoijène en u, v, w.
En effet, la droite ne change pas si on remplace dans sou équation u, v. n< respectivement par lu, Iv, ho, À désignant mi nombre quelconque ; par conséquent, comme la droite satisfail à la condition géométrique quelle que soit la forme sous laquelle on écrit son équation, toule solution w, u, u de la relation correspondante entraîne la solution lu, Au, ha quel que soit l; la relation considérée est donc homogène.
3. Une droite sera donc bien déterminée analytiquement par deux relations homogènes entre ses coefficients. Si ces doux
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LE POIST ET LA IH101TE <t
relations sont, algébriques, entières, de degrés m et p, le nombre de solutions sera mp, d'après le théorème de lieront.
4. Si maintenant on donne une seuîe relation, toujours homogène en u, v, w,
fl«, », «1 = 0, (1)
il y aura une infinité de droites dontles coefficients vérifleronl l'équation (1); nous démontrerons plus tard qu'en général toutes ces droites sont tangentes à une même courbe.
On dira que l'équation (t) est l'équation tangentielle de la courbe, et pour éviter toute confusion la relation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la courbe sera appelée l'équation ponctuelle de la courbe.
De même nous dirons que les coefficients u, v, w de l'équation d'une droite sont les coordonnées tangentieiles de cette droite, tandis que les coordonnées d'un point seront appelées coordonnées ponctuelles.
Ainsi, par exemple, l'axe des x a pour coordonnées tangentielles 0, 1, 0, puisque son équation est
les coordonnées de l'axe des y seront I, 0, 0; celles de la droite de l'infini, 0,0,1, etc.
Nous remarquerons aussi qu'étant donnée une droite, ses coordonnées langentielles sont déterminées à un facteur constant près.
Nous allons maintenant examiner le cas où. la relation (1) est du premier degré en m, v, tr,
5. Équation tlu Point. TmUiKKME. — Toute équation homogène et du premier degré par rapport à u, w, w représente un point. Sort, l'équation
On voit immédiate nient que toutes les droites dont les coordonnées satisfont à cette équation passent par le point qui a pour coordonnées homogènes a, o, c.
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-i COORDONNÉES TANUEXTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE
L'équation (2) sera dite l'équation tangentivlle du point.
Il est à peine utile de faire observer que, réciproquement, tout point peut être représenté par une équation du premier degré ; autrement dit, en écrivant qu'une droite passe par un point, on a une relation du premier degré entre les coeltieienls de la droite.
On peut donc dire que L'équation langentielle d'un point est la condition à laquelle doivent satisfait-". 1rs coordonnées d'une droite pour que relie droite passe par le point,
de même que L'équation ponctuelle d'une droite est la condition à laquelle dotvent satisfaire tes coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la droite.
Exemples. — L'origine des coordonnées a pour équation w - ; un point sur l'axe des x, ayant pour abscisse a, sera représenté par l'équation
ua-hw = 0.
6. Le point représenté par l'équation (2) n'est à distance finie que si le coefficient de w, c, est différent de zéro; les coordonnées absolues de ce point sont - et -•
Si c = 0, on voit que toutes les droites dont les coordonnées satisfont à l'équation (2) sont parallèles h la droite qui joint l'origine au point de coordonnées a et b ; on peut donc dire que toutes ces droites passent par le point à l'infini dont les coordonnées homogènes sont a, b, 0.
Ainsi, u = est l'équation du point à l'infini dans la direction de O.r: v = est celle du pointa l'infini dans la direction de Oy.
7. Exercice. — Trouver les équations des points à l'infini dans les directions perpendiculaires aux axes de coordonnées, ces axes faisant l'angle 0.
L'équation de la perpendiculaire à Ox menée par le point
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se 4- y cos = 0,
on voit que les paramètres directeurs (') de cette direction sont cos et —t ; par conséquent en exprimant qu'une droite yui^o par le point à l'infini de coordonnées homogènes cos 0, — i, 0,
On trouve de mémo que l'équation du point à l'infini sur la perpendiculaire à Oy est
o- Reconnaître si une droite variable passe par un point lise. — Dans un grand nombre de cas on peut simplement résoudre la question en se donnant les coordonnées de la droite «, v, w, puis écrivant les conditions auxquelles est assujettie cette droite. On arrive alors à une relation entre u, v, iv et certaines quantités constantes, et il suffit de constater que la relation obtenue est du premier degré en w, », w.
Voici une application très simple de cette méthode ù un problème bien connu.
9. Exercice. — Les trois sommets d'un trianyle décrivent trois droites concourantes et deux cotés passent par deux points fixes. Démontrer que le troisième coté passe par un point fixe en ligne droite avec les deux premiers.
Prenons pour axes deux des droites données ; soit y = mx y l'équation de la troisième et (sc\ y'), [x", y")
les coordonnées des points fixes I' et ij.
Désignons par
vx -+- vy + in = l'équation de la droite AB ; les droites AC et BC ont respectivement pour équations
il! Un appelle paramèlrcï directeurs d'une direction les Cl point quelconque situe jur la. parallèle ;i cette direction il
gine.
Ainsi le; iiaramiliïjs directeurs de 11 droite
uz+ vy + w = a
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XLES TAMÎEXÏIELLES. C.ÉOJIÉTIUE LU. A
Je forme l'équation de la droite joignant l'origine au point de rencontre de ces deux droites, ce qui donne
* («»' + t-y' + „) = * (««■ + rjT + 10) ,
et j'écris que cette droite a pour coefficient angulaire m. On a
(Lctte relation étnnt du premier degré en w, v, m, exprime que
la droite passe par un point fixe. On voit de plus que ce point est situé sur la droite l'Q, car lo^ coordonnées de cette droite annulent ux' -h vif -+- '■'" et w" + ry" -+- !■■ ; elles véritient donc l'équation qui précède.
10. Équation du point u'inlet'sectioo de doux droites. - Soient $,{it„ d, u\) et Ai(wi, w?, «';) les deux droites données ; d'après la définition de l'équation du point, il nous faut trouver la condition pour qu'une droite quelconque (w, v, v] prisse par le point de rencontre de ij et i 2 . On sait que celte condition peut s'écrire
c'est l'équation cherchée.
En la développant, on obtient
u{h\H\ — !('!»,) + o(«'i«j — «ifr.) + ÎP(«,Bi — l'iWs) — 0,
et nous voyons que les coordonnées homogènes du point de rencontre des deux droites sont v,?r-> — "\v>, u\u a — u,w i: u,Vi — v,Ui. Ce point est à l'infini si «it> 2 — »[W 2 — 0; on retrouve ainsi la condition de parallélisme de deux droites.
i\. De l'équation (3) on peut déduire comme il suit les coordonnées d'une droite quelconque passant par l'intersection de A, et de A?. Le déterminant étant nul, il existe entre les élé-
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monts des colonnes une même relation linéaire et homogène, soit
Aw-t-Bu, + Cw s = 0,
Ao-r-BPi-t-Ct>, = 0,
Aw -\-Bwi-t-CiVi — 0.
Le coefficient A n'est pas nul, car s'il était nul, u lt v,, w,
seraient proportionnels à w i; t> s , ti'j, et les deux, droites a, et
ij coïncideraient.
Nous pouvons donc résoudre les relations précédentes par rapport à », », «', et l'on a
En faisant varier À et p. de toutes les façons possibles, on obtient les coordonnées de toutes les droites passant par l'intersection des deux droites données.
Ce résultat est d'ailleurs une conséquence immédiate d'une propriété établie en géométrie analytique. Ou sait que l'équation générait; des droites passant par l'intersection des deux droites qui ont pour équations
P, = UiX-t-Vty + w, = 0,
P 2 — UiX -t- v?y -f- ici = est
ÂP, + f*P, = 0,
el, d'après la définition, les coordonnées de la droite représentée par cetteéquation sont J.m, + ijm 2 , X», 4-,^Bî, Xï/^ + nit-j.
