Exercice. — Etant donné un système de valeurs de X el
de n, reconnaître sî la droite correspondante qui a pour coordonnées À^i -F- nVi, ^"i -t- ^î, Itt'i -t- jiT; es! .i'f/'i^c rfan* l'angle aigu ou dans l'angle obtus des deux droites Ai et i s .
Soit A un point quelconque du plan; par ce point je mène une perpendiculaire à la droite à, ; celte perpendiculaire rencontre a, au point Bi et A s au point B?. 11 est clair que si les
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deux points Bi et B a sont de part et d'autre du point A, ce point est dans l'angle aigu des deux droites Ai et a,; si, au contraire, les deux points Bi et J5 3 sont d'un mùmc côté du point A, ce point esl dans l'angle obtus formé par A, et Ai- Nous nous appuierons sur cctle propriété pour résoudre la question.
Soient a/, y' les coordonnées du point A; l'équation de la perpendiculaire menée par ce point à la droite a, est, 8 désignant l'angle des axes,
«i — V t COS <i l!| — M, COS
et les coordonnées d'un point quelconque de cette perpendiculaire ont pour expression
x = af+ P {u,-Vi CosO), !/ = .'/ + ?(».-«. eus 0), p étant proportionnel au segment qui a pour origine te point A et pourextrémité le point (*, y).
On aura les valeurs de p, pi et p a , relatives aux points B, et B 5 , en écrivant que les expressions (4) de x et de y satisfont aux équations des droites A, et i 2 . On trouve ainsi »,3:' + «,?/ + «.■)
wî H- yj — âUiii, cos
U t Ui -i- U,B, (tl,Uï -1- M,!)!) COS
L'expression Ui s -+- », a — 2u,o, cos G étant toujours positive, le produit ?,p 2 aura le signe de E = («!*'+ v l if-i-wi){VrB'-ht>,y'-i-w l }[u i u x +v 1 v l — (w, u 2 -+-Mîii,) cos û].
Si cette expression est positive, p, et p 2 sont de même signe, les deux points B, et B, sont d'un même côté du point A, ce point est donc dans l'angle obtus des droites A, et Aj. Si, au contraire, l'expression E est négative, le point A est dans l'angle aigu.
Supposons maintenant que le point A soit situé sur la
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droite a qui passe par l'intersection de ±, et de a* et qui a pour coordonnées Xvi — H- n«j, X»i + [.i»i, lu; -+- y.uh; on aura
(Xu, + nu,>/ -S- (Xu, + au,);/ -h (Î.W, -H i*«,'j) = 0, d'où l'on tire
ce qui montre que le produit
(u^ -h »ji/ -H »J(u*ï' + » s i/' -+-it'i) a le signe de — J.ja. Alors l'expression E aura le signe de
— i^[«i«î + t>i»3— (w,ti 2 h- !/,u,) cos U], et la réponse à la question proposée est la suivante :
Si X(*[uiUs + e,u s — (mi»2 + «a»i) cos 0] > 0, la droite A traverse l'angle aigu des deux droites & t , ii ;
Si X[*[«i«i-t-wiOj — («(Os -+■ Mj«i) cos 0] <; 0, la droite a traverse l'angle obtus.
Nous remarquerons que dans tout ce qui précède nous avons supposé
I!|» 2 -f-DiD 2 — (Wi«2 + Ws«l) COS 9 ;£ 0,
ce qui revient à supposer que les deux droites ne sont pas perpendiculaires.
La droite A ne change pas quand >. et y. varient de telle manière que le rapport - reste le même. La position de la droite ne dépend donc que de la valeur de ce rapport. Les considérations qui précèdent prouvent que si le rapport varie en conservant un signe constant la droite A se déplace dans le même angle, et si ce rapport change de signe la droite A passe dans l'autre angle.
13. Nous obtenons ainsi une interprétation géométrique du signe du rapport -; ou peut également chercher une interprétation de la valeur absolue de ce rapport.
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1U COORDONNEES TAN<;ENT1ELLES. (iÊOMÉTHIE l'LASE
Xous allons démontrer que la valeur absolue de ce rapport est proportionnelle au rapport des sinus des angles qne fait la droite A avec les droites A. et i„
Soit S le point de rencontre de a, et a, ; d'un point A (x\ y') pris sur i abaissons les perpendiculaires APi et AP (
sur Ai et a,.
On a
