Conditions pour que l'équation générale du second
degré en «, v, u> représente un cercle.
Pour avoir l'équation tangentielle d'un cercle, nous écrirons qu'une droite, ux + vy + w — 0, est à une distance constante d'un point donné.
On a ainsi
(«* + ^ + ».') s sin*0 = Ri w ! -t-î) 2 — 2wi) eos 6 '
net J3 désignant les coordonnées du centre, R le rayon et l'angle des axes.
Cette équation peut aussi s'écrire
(g+tg + wrin'a 2j(j; cos =
Pour que l'équation /■(w, v, w) = au- -+- a'v- -+
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DES COSIQUES 105
représente un cercle, il faul et il suffit qu'on puisse déterminer les nombres a, p, R et X, en sorte qu'on ait l'iilenlilé
flu, v,w) = \ [ {m + " ? ^ W)S Bm * 6 -(«» + B> - 8UP COS 6)]
ou
(wa + w? -H ro)'sin a
/"(w,u, w) + X(« 3 -i-i;- — 2w!)CosO) = X
On déduit de là que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) représente un cercle est qu'il existe un nombre X en sorte que /"(m, v, w) -+- *(« 2 -H t> 3 — %uv cos 6} soit le carré d'une fonction linéaire.
Remarquons d'abord que a" doit être différent de ?.éro, sans quoi l'expression qui précède, devant être carré parfait, ne pourrait renfermer la variable w ; on devrait avoir b = b'— 0; /*(«, v, tv) se réduirait a une fonction homogène de u et de v et l'équation représenterait deux points à l'infini.
Le coefficient do w 2 n'étant pas nul, pour que l'expression /"(m, », w) -+-)> (w 2 -+- î> s — 2«!> cos 0) soit carré parfait, il faut et il suffit que les mineurs de son discriminant qui contiennent a" soient nuls.
On aura
a'(b° — À cos 0) — bb' = 0.
Ces trois équations doivent donner pour >. la même valeur : on aura donc
Dans le cas où les axes sont rectangulaires, ces conditions
s'écrivent
Ces résultats pouvaient s'obtenir i de l'équation ponctuelle.
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Supposons ces conditions remplies, et proposons-nous de déterminerles coordonnées du centre et le rayon du cerCle représenté par l'équation (i).
On a l'identité
/"(«, v,io)-h\{u> + v 3 — 2uv ces 0) = ~ ( a "w+b'u-t-bv)!,
>. étant égal à l'un des nombres — ~ ou -■
On aura donc
de telle sorte que l'équation du cercle s'écrit
-s « + -,-, w-r-w) sin !
Va" h" / A sin s
«-— u- — 2ue cos (i a" !
Il en résulte que les coordonnées du centre sont — et -,,
ot que ie rayon R est donné par
A sin 2
On voit ainsi que le cercle n'es! réel que si A est négatif.
102 \ -|'i- I — |»i *!■•■■■ | . i-|.|-;. 1.1. ni- lij|- t|...|. -.|in-
latére, il faut que les directions asymptoliques soient rectangulaires.
Or nous avons vu (85) que l'équation aux coefficients angulaires des asymptotes était
Pour que ces directions soient perpendiculaires, il faut qu'on ait
A + A' — 2B" cos 0=1),
D désignant l'angle des axes.
Si les axes sont rectangulaires, la condition devient A + A' = 0.
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CLASSIFICATION DES COMMUES
EXERCICES ET NOTES
1. Déterminer la nature des eoniijites représentées pur les èqtiaii 3 — v 1 -+- 3w a — 2mw = 0,
( M )2 - z-ew = o,
,(3 j- ÎC 2 vw — Z\BU | uv = 0.
2. Discuter la nature des coniques représentées par l'équation
M s + 2u s +(l s - 1>- 2 — 2Xpic + 2mm? — 3iw» = 0. jwarod Ze paramètre X «crie.
3. Discuter la nature des coniques représentées par l'ëq nation
î( M 2 v i ] pic2 as;,™, a MO = n, lorsque le point (a, P) se déplace dans le plan.
4. On donne un. cercle, u.ne droite et un point A; par te pois! A, o» mène une droite quelconque qui rencontre la droite i) au point B. Trouver l'enveloppe de la droite, qui joint le point B au pôle de la droite Ali par rapport au cercle.
Cette enveloppe est une conique ; discuter la nature de celte conique eu supposant que le point A si: déplace, dans le plan, le cercle et la droite D restant fuies.
Soient œ 1 -H y 1 — R 3 = 0, y — m = G
(es équations du cercle et de la droite, et a, p les coordonnées du point A.
Soit tue -+- vy + w = l'équation d'une des droites dont on cherche l'enveloppe ; elle rencontre fa droite D au point
B [y = wi] m — ■ ) ; je forme l'équation de la droite AD,
et j'écris que son pôle est sur la droite ux-\-vy + w = 0,
On trouve ainsi pour équation tangcntielle de l'enveloppe. Ra( m - p)»> + Il W + M + (R 2 + mp)«w + m«»w -t- R ! awe = 0.
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