COORDONNÉES TANGENT! ELLES
GÉOMÉTRIE PLANE
Pour discuter cette conique, je forme
A = ï( )M -p)r aS (R S m l 1) (R a .
Remarquons que
es! il;uis les autres r
i on considère s et ? comme coordonnées courantes, l 'équation
^(R5 m s)(R 2 wl p)a = représente l'ensemble des tangentes menées au cercle aux points de rencontre avec la droite D.
En supposant que cette droite rencontre le cercle en des points u réels, on voit aisément que si le point A est dans les régions du plan couvertes de hachures, l'enveloppe est une ellipse, car a\ est positif; au contraire si le point A . l'enveloppe est une hyperbole.
On peut remarquer que les ellipse* sont toujours réelles, puisque
le mineur A par exemple est égal à R s m£ -■ — '- ou à
— '-, quantité négative.
L'enveloppe est une parabole si ji = 0, c'est-à-dire si le point A est sur le diamètre du cercle parallèle à la droite D.
Enfin si le point A est sur les autres droites de la ligure, l'équation représente deux points.
On examinera d'une manière semblable le cas où la droite D ne rencontre pas le cercle.
Tous ces résultats peuvent d'ailleurs s'obtenir aisément par de simples considérations géométriques.
5. Trouver l'enveloppe d'une droite s' appui/ mit sur deux droites données et ayant son milieu sur une autre droite donnée,
6. On donne une ellipse et un point A ; par ce point, on mène une droite quelconque, du pôle M de cette droite par rapport à l'ellipse on abaisse une perpcndi.culai.re sur cette même, droite ; trouver l'enveloppe de cette perpendauihiire.
Soit ux + vy -+- w = réqualion d'une des droites 4 dont on cherche l'enveloppe; du point A (a, |i) j'abaisse une perpendiculaire
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CLASSIFICATION DES CONIQUES Hli.l
sur celte droite et j'écris que le pôle de la perpendiculaire est sur la droite a. On obtient ainsi l'équation tangcntielle de l'enveloppe,
qui représente une parabole tangente aux axes de l'ellipse, et qui reste la même pour toutes les coniques homofocales.
7. Enveloppe du la droite qui joint les projections d'un point quelconque d'une parabole sur l'are et In tangente au sommet.
8. Enveloppe d'une droite qui joint les point.': homologues de deux divisions homograplrlqucs. Discv.'.er la nature de la conique obtenue.
9. Enveloppe d'une corde d'une conique vue d'un point fixe sorts
un angle, droit. Vu* oh le point est su,- la conique.
10. L'une des asymptotes d'une conique circonscrite à un triangle passe par un point fixe ; trouver l'enveloppe de l'autre asymptote.
Soit OAB le triangle ; prenons OA et 011 pour a\es et soient œ a ,y a les coordonnées il u point fixe.
L'une des asymptotes aura pour équation y — y B — m(a> — afc) = 0; soit MK + DI/ + io = l'équation de l'autre asymptote ; l'équation de la conique s'écrit
[</-!/„- ■» [m - *«)](«■ + vy -+- w) + k = 0.
Écrivons que cette conique passe p;ii' les sommets du triangle donné ; on a trois équations entre lesquelles on éliminera aisément m et k. On trouve pour équation tangcntielle de l'enveloppe
>(« — <*o) + «01» (* - Vu) -H to] — x„y a uv = 0. Discale] 1 la nature de cette conique et la construire.
il. Trouver l'enveloppe d'une droite telle que le produit de ses
distances à deux points lices soit constant.
12. Trouver l'enveloppe d'une droit-; telle que. la somme des carrés '.le ses tlis'auces ù. deux points finis soit couslante.
13.. On donne deux droites 0./;, Oi/ et un point A. Un cercle quelconque passant par et A coupe les droites en I! et G. Enveloppe de la droite 1Î0.
Soit ux-r-vy-\-io = l'équation de la droite BC. Le cercle
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110 COOHDONNÉES TANGBKTIELLES. ■ — GÉOMÉTRIE PLANE
passant pai- les points 0, R, C a pour équation
« a + y' ! -+■ 2xi/ cos + — - te H y = ;
j'écris que ce cercle passe pur le point K (as„, i/ u ) ; un a l'équation tangeiUielle de l'enveloppe,
%l -+- a^ni/o cos ° + !*o H- jr *o + - Vo = ° .
qui représente une parabole taiiL'etile ;iux deux droites.
14. Dechaque point d'unis droit.!: on abaisse, des paye n dieu /aires sur deux autres droites : e--,, celoppe dr la. droite qui joint leurs deux
15. On donne une conique, tangente. !< deux droites Ox et i)y. Une tangente quelconque à celle, conique, rencontre ces droites en  et li. Lieu du quatrième sommet du parallélogramme construit sur OA
16. On donne un cercle et an point h . Par a; -point on mène un: sécante ABC; fin joint le point I! nu point, (j' diamétralement oppost à C. Enveloppe de la droite B.C.
17. Étant données deux, lan genti.-y. à une conique, on leur ment des parallèles par les dijl'éri'.ni.s pointu de In corde de contact; trouver l'enveloppe de la diagonale du parai. leh, gramme ainsi formé gui est opposée au. point de. concours de?, tangentes. Cas où la coniqui es 1 , une parabole.
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