CHAPITRE VI POLES ET POLAIRES

103. Droites conjuguées. — On dit que deux droites sont conjuguées par rapport à une conique lorsqu'elles divisent harmoniquement lestangenlcs menées à ' a conique par leur point de rencontre.

Soit la conique représentée par l'équation f(u, v, w) — au*+a'v*+a"w*+2bvw-\-%b'wu-t-%b°uv = 0. (I;

Considérons deux droites ayant pour coordonnées «„, t> 01 n\ et i*i, v u «'s, et proposons-nous <ie trouver la condition pour que ces deux droites soient conjuguées par rapport à la conique.

Une droite quelconque passant par l'intersection de ces deux droites a pour coordonnées ï.Uq+ pw„ \v u -+- pv, ot Xwo + jHOj ; les valeurs de \ et de ji correspondant aux tangentes issues de ce point à la conique seront déterminées par l'équation

f(Xu -+- fiu, , ï.î!„-t- [*»!, >.«'„ + i«e,) = : ou, en développant, >Y(W wJ + Xrfw/^-t- v l fi t + w t f! at )+ [*V(«i, Bi,«i) = 0.

Pour que ces deux tangentes soient conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites données, il faut que les deux valeurs de — déterminées par l'équation qui précède

Hosted by

soient égales et de signe contraire (14) ; on doit donc avoir

Cette relation développée s'écrit

104. Pôle d'une droite. ~ Théorème. — Les droites conjuguées d'une même droite A passent par un point fixe qu'on appelle le pôle de ta droite .

Soient v , v a , w„ les coordonnées de la droite a, et u, », w celles d'une droite conjuguée. On a la condition

<.,+ »«, + »ft, = 0, (-2)

ce qui montre que la droite («, u, »') passe par un point iixe qui a pour coordonnées fù , fl , fir ■ Ce point est le pùlc de la droite a et l'équation (2) est l'équation de ce pùle.

D'après ce qu'on a montré plus haut (88), ce point est l'intersection des tangentes menées à la conique aux points où la droite a coupe cette conique.

105. Pour que ce point existe, il faut que les trois dérivées i,.. ...,. m (..... i,.'ll< - -i. iii-in- i-iiii'-

Si l'on a

Jfi, = ■<. + ** + *'». = 0,

i/» t = éfut + bvt + ifw, = 0,

le déterminant du système de ces trois équations est nul cl l'équation (1) représente alors un système de deux points; les valeurs de w„, v , tv qui annulent les trois dérivées sont précisément les coordonnées de la droite qui joint ces deux

points.

Hosted by

I'Oles Et polaires 113

On voit donc que si l'équation [i) représente une véritable conique, une droite quelconque du plan admet un pôle bien déterminé.

Il en est de même dans le cas où l'équation représente un système de deux points, sauf le cas où la droite se confond avec la droite joignant les deux points.

Ce résultat est d'ailleurs conforme à la délinition du pôle d'une droite par rapport à un système de deux points (28).

106. Proposons-nous maintenant de chercher si deux droites distinctes peuvent avoir le mémo pùle par rapport à une même conique.

u , v , Hi et m,, y,, »>, désignant les coordonnées de ces droites, on doit avoir, pour qu'elles aient le même pèle,

rj, n. (K ,

n.+ir,, = o, ft, + i/;;, = o.

Or les premiers membres de ces équations peuvent s'obtenir en remplaçant dans les fonctions fû, /",', f' m les variables », v, w respectivement par v a -hlu,, u + X«,, w a -+- lu; .

On doit donc avoir pour une valeur déterminée de \ fl(u a -+- Xu, , v -+- lv, , w, + Xw,) = 0, f!.(u, -+- Xu, , v a + lv, , «?„ -+- /.«■■,) = 0,

A("o -+- iu i > % -+- l "' • h-'o + Xw, i) = o ;

cela nous montre que l'équation doit représenter un système de deux points et que la droite qui joint ces deux points a pour coordonnées tz + Xui, u + X« t , w -+- he t ; cette droite doit donc passer par le point de rencontre des deux droites données.

Donc pour que deux droites aient le même pùle par rapport

Hosted by

114 COOKDOXNÉES TAXOJ3NT1EIXES. — GÉOMÉTRIE l'I.A.Nli

ii une conique, il faut que cotte conique se réduise à deux points et que les deux droites se coupent sur la droite joignant les deux points.

107. Polaire d'un point. — On appelle polaire d'un point la droite qui a co point pour pille.

Soit le point (37 , j/ , s„) ; si u , «„, w t désignent les coordonnées de la polaire do ce point, on aura

Tout rcvienL à résoudre co système par rapport h u , o a , «'„. PiiEMiKii cas, — Supposons qu'on ait I a b" h' | A = b" a' b I =£ 0, I 1/ b a" I c'est-à-dire que l'équation (1) représente une véritable conique. On peut alors résoudre le système (3) d'après la règle de Cramer ; on aura

iu„ = l(kx a -\-R"u a -i-B'z ), au = i.(B% + A';/, 4- B:,).

i/^= X(B'x o 4-By o -i-A"z ), qu'on peut écrire, en désignant pur

? (x, y, z) = kx* -+- A'y> + AV -1- 2iî)/Z+ 2B'ra:+ 2B"iy = l'équation ponctuelle de laconique.

l'équation de la polaire sera donc

Hosted by

aw,J -+- i/o,; +;o! = 0,

résultat qu'on établi l en géométrie analytique.

Rappelons que deux points sont conjugues quand la droite qui les joint rencontre la conique en deux points conjugués harmoniques par rapport a ces deux points ; chacun d'eux est alors situé sur la polaire de l'autre, et la relation qui lie les coordonnées &„, y„., z a cl x„ y u z s de ces deux points est

,\t„x, + A';/,;/, -1- A*V -+-%,!. + V/0 + B'ts,*, +Vi)

Deuxième cas. — Supposons A = 0, et l'un au moins de ses mineurs différent de zéro, soit par exemple i 1 )

A" = aa' ~ b" 2 ~£ 0.