POLES F.T POLAIRES

L'un des coefficients a, a' ou a" est différent de zéro; supposons

On peut tirer v„ de la première équation du système Cli, et en remplaçant dans les deux autres, observant que tous les mineurs de à sont nuls, on obtient le système suivant, équivalent au système (3) :

*(*X — ay ) = 0, [

'El — h fj .

elles expriment que le [joint dorme cnincide avec le point double, car f{u, v,v>) étant carré parfait, sa racine est proportionnelle à une dérivée partielle, f„, puisque n^O.

1° Stipposons gué la point [xo, y a , s p ) ne coïncide pas avec le point double.

Pour que les deux dernières équations du sjstème (S) soient satisfaites, il faut que >. soit nul.

La première équation devient alors

f%=0; elle exprime que la polaire passe par le point double.

3° Supposons que le -point (x a , y a , s ) coïncide avec le point double.

Les deux dernières équations du système (5) sont satisfaites quel que soit >> ; la polaire est donc déterminée par l'équation

et comme 1 est arbitraire, une droite quelconque peut satisfaire à cette équation ; la polaire du point double est donc entièrement indéterminée.

108. Tous ces résultats peuvent être résumés do la manière suivante :

1° Si l'équation (1) représente une véritable conique, une droite quelconque a un pôle bien déterminé et un point quelconque a une polaire également, bien déterminée.

2" Si l'équation fl) représente deux points distincts A et B,

Hosted by

118 COORUONXIÏEK TAXGEXTIEI.l.ES. — GÉOMÉïïilE PLAXE

Lou le droite autre que la droite Ait a un pôle situé sur lit droite AB; le pâle de ia droite AB est un point ((ueleonque du plan. Tout point en dehors de la droite AB a pour polaire la droite Ali, et tout point situé sur la droite AB a une infinité de polaires assujetties simplement à passer par le conjugué harmonique du point donné par rapport à A et B.

3" Si l'équation (I) représente un point double, toute droite ne passant pas par le point double a pour pôle ce point double, el toute droite passant par le point double a pour pùle un point quelconque du plan.

Tout point autre que le point double a pour polaire une droite quek'orifjiie passant par le point double, el. le point double a pour polaire une droite quelconque du plan.

109. Théorème. — Si par deux points d'une droite, on mène, des tanj/cutes à une conique, te point de concours des dioijornih:.-. du. nuad.rih -itère formé par ces tangentes est le pùle de la droite.

Menons les tangentes par les points AetB; on obtient le quadrilatère CDE1-' dont le point de concours des diagonales est le point I; je dis que I est le pôle de AU.

D'après les propriétés harmoniques du quadrilatère complet ABCDEF, DFest divisée harmoniquement par les points I et H, le faisceau A.HFID est harmonique ; on en conclut que AI et AH sont conjuguées par rapport à la conique et que Al passe par le pôle de AB. Pour une raison analogue, lil passe par le pôle de AB; ce pôle est donc le point I, le théorème est démontré. Si on applique le théorème aux points C et F, on voit que CE a pour pôle le point H ; de même DF a pour pôle le point K.