Coniques conjuguées par rapport à un triangle
On dit qu'une conique est conjuguée par rapport à un triangle lorsque le triangle est conjugué par rapport à la conique. Nous allons chercher l'équation tangenticlle des coniques conjuguées par rapport à un triangle.
u Nous supposerons d'abord que Ton
prenne pour axes de coordonnées deux côtés OA et OU du triangle.
Désignons par y l'abscisse du point A et par j3 l'ordonnée du point B.
Soit
/(«, o, w) == au , ^-a'v a + a"v> î + 2/>vw-hWwu-h%b"uv =
l'équation générale des coniques.
Ecrivons que le pôle de Ox est le point. Ti. L'équation du pôle de 0;r est
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En écrivant que Oy a pour pôle le point A, on obtient de
même
Ces conditions sont suffisantes, car si elles sont remplies AB aura pour pèle le point 0.
L'équation de la conique s'écrit alors, en remplaçant a et a 1 par leurs valeurs tirées des relations précédentes,
b'zu- -+- bf.v 1 -h a'tc*- -h Ibvio -+- Ib'uw — ou encore
On peut dire que l'équation générale de ces coniques est A(t«-i-tt>) a -i-B(wp-i-!«) a +Ctt) s = 0. A, B et G désignant des nombres arbitraires.
Supposons maintenant que le triangle soit rapporté à des axes quelconques xOy; soient x u y, ; %ï, }h > x ^ y-i 1° K coordonnées des sommets A, B et C de ce triangle.
Si nous prenons pour nouveaux axes de coordonnées AB et AC, l' équation générale des coniques conjuguées par rapport au triangle, s'écrit
A{ W '« -+- w'T- + B(«'p + w') 3 -+- Oir- = 0, x et p désignant les longueurs AB et AC,
Pour revenir aux premiers axes, nous uLiliserons les formules de transformation établies au numéro 34. Remarquons que les coordonnées du point directeur de AB
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POLES ET POLAIHES \À\
sont — et — — ; pour la direction AC, ces quanta — X, Vi — - Vi ti tés sont ■ ' - ' , " - v ■
On aura donc les formulas
u , = ufo — g,) %,— y,!
, u{x 3 — x,) wf?/ a — 1/1)
Réduisons les doux premières équations au même dénominateur et ajoutons à chacune d'elles la troisième équation membre à membre ; on a
u'P h- «/ = usti h- vy 3 -+- !c,
L'équation de la conique devient donc
A(«a!î+oj/, + w} 3 + B(uaîj + u*/ a -+- wJ'-l-Cftia;, -H oy, + wf = ;
elle est de la forme
iJiiix i + vy,+w) 3 +}. i (ux i +vy î -^w) 3 + \ s (ux 3 -{-vy 3 -i-w) i = 0,
ou, en désignant par P,, P», Pu les premiers membres des équations des sommets du triangle donné, on voit que l'équation
générale langent ielle des coniques conjuguées par rapport à ce triangle est
>.,PÏ-r-ï 3 P|+Mi = 0.
112. Théorème. — Si deux triangles sont am-jui/ttës par rapport à une conique, leur:: .•i.r soiianai-i sont aur Vite r unique al leurs côtés sont tangents à une, r.ùuique.
Soient x : , y, (i — 1, 2, 3, 4, 3, 6) les coordonnées des six sommets des triangles.
L'équation langentielle d'une conique cnnjufuiéo par rapport au
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triangle qui a pour sommets les trois premiers points est
tielle ■ ■ les tr<
deux é
l'équation tangentielle d'une conique conjuguée par rapport .
triangle formé pur 1rs trois iinl.i'f.'s points est
écrivons que les deux équations représentent la n obtient une identité de la forme
On en déduit
2ii#^ = o, 2^ = °. 2 1 " 3 " 1 " = °' 2^=0, 2^=°' 2^"= '
On a six équations homogènes à six inconnues, ;j,, jj 3 ,..., ja ( ; le déterminant du système doit être nul ; on a donc
Biyi *»,vi «aïs «*s* «Wb ^ 6 y« s<î yï y! y! y! y«
ce qui prouve Lien que les six points sont sur une conique.
En transformant cette propriété par pohin;* réciproques, on a la seconde partie du théorème.
113. TriKOKiïME iiÉciPROQUE. — Si deux- triangles sont inscrits dans une conique, il existe, une amiqv.e. eoiijuijuèe pin- rapport à ces deux Vriciiijli'i.
Si le déterminant précédent est nul, il existera une relation linéaire et homogène enire les éléments de ses lignes ; on aura donc la suite d'égalités
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i'oi.es i:r i'o[.\uu:s
d'où i'on déduit, l'identité
2rt«» + w + »)'-o.
ce (jui montre que les équations lan^enti elles
représentent la même conique, qui est conjuguée par rapport aux deux triangles.
Corrélativement, si deux triangles sont circonscrits à une même conique, il existe une conique conjuguée par rapport aux deux triangles.
EXERCICES ET NOTES
1. Triangles polaires récip roques. - On dit que deux triangle? sont polaires réciproques par rapport à une conique lorsque les sommets de l'un sont les pôles des côtés de l'autre. La réciproque est
Théorème. — Les droites qui joù/nent les sommets correspondants de deux triangles polaires réciproques prissent par un même point.
Soit f{u, v, w) = l'équation tangentielle de la conique ; et soient
B = bx+b'y + b'z — 0.
les équations des côtés BG, CA, Ali d'un triangle ABC ; nous allons démontrer que si l'on mène par les sommets les droites conju-
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l- il ë o s îles rôles opposés, les [rois droites obtenues snnl. concourantes.
Une droite quelconque passant par le point A a pour équation p-h Xy = ; pour qu'elle soit l'onjusuée du celé lit', ou doit avoir
(6 (. le) f; t + (&' ■+■ \c')ft + (&" + *0 ft" — 0, d'où l'on tire, en posant pour simplifier l'écriture,
6/ï H- Vfk + B"/* = «ft + «'fi' + tTfr = («»).
i2*i "(oc)'
- dlili'iiiii
donc la droite
P(ac)--,(«6) = 0.
Les deux autres droites auront pour équations Y [fl«)-«(6o)= 0, a ( C 6)~p(ca) = 0.
ne idenlilé ; donc les trois droites sont
cipe de dualité, on obtient le théorème
En additionnant o concourantes.
Fn transformant p; suivant :
Les points d'intersection des côtés correspondants de deux triangles polaires réciproques sont en litjne droite.
D'ailleurs, l'un de ces deu\ théorèmes résulte du l'autre, d'après les propriétés de deux triangles homolodqnes ; on peut donc dire que deux triangles polaires réciproques Mint II oui illogiques.
2. Démontrer que, réciproquement f deux triant/les honiologigices sont polaires réciproques par rapport à ane conique.
3. Etant donnés deux triangle:-: ABC-, Ail>:('.|, par les points A ? B,C on mène les droites respectivement conjuguées de I'ÎiCi, CjAj, AiBj. Si ces droites passent par un même point, les droites passant par Ai, Bi, Ci et respcctcci'mc.nt ccmjutjuces de, KC, CA, Alï, se coupent aussi en un mi-mc point.
Prenant les mêmes notations que dans l'exercice 1, les trois premières droites auront pour équations
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