POLES ET POLAIRES
ut pour que ces droites soient coiu'ouraiiles, il faut qu'on ail
[ca,)(aii,)[bc,) = ((>f'i'ycb,){aci) ; celle relation élant symétrique par rapport aux deux triangles, le théorème est démontré. (')
Si la conique se compose des doux points cycliques, deux droite.s n>:]jii!ïiLi':c-s quelconques sont perpendiculaires ; on a alors ['énoncé suivant :
Si deux triangle* sont tels que les pxpendi-uluires abaissées des sommets ii-: l'un sur les côtés de l'autre soient, concourantes, internement les perpendiculaires abaissées des sommât.* dit deuxième sur le* cotes du premier srmt aussi concourantes.
A. Les polaires des milieux des cotes d'un triangle par rapport à toute conique inscrite déterminent un iruuujle. dont l'aire est égale à celle, du triangle donne.
5 . Par un point quelconque du plan, on peut mener une infinité de
cnip/es de droites conjuguées, qui constituent deux faisceaux en inr.olution . 'froncer les points du plan pour lesquels deux droites eonjv. iju.ee. s qiiclconqu.es sont perpendiculaires. Ces points sont les foyers.
S. Si par deux points I! et G conjugues par rapport à fine conique, on mène ileu.c droites oui. se, coupant en un point u de la courbe, lu. corde be que ces deux, droites interceptent sur la conique passe par le pôle A de liC. Théorème corrélatif ,
7. L'équation générale des coniques ayant pour centre le point
\x, y), et. pour (liamèlres conjugués deux droites de coefficients angu-
(IM + vy + «)! + X( M + tmi)' + ,*{,.., -+. m 'jl = 0. Ces deux diamètres forment en effet avec la droite de l'infini un triangle conjugué par rapport à la conique
(1) Cette démonstration et relie qui précède sont dues ii SI. Dahboux.
Hosted by
114. Centre. — On appelle centre d'une conique un poinl tel que toule droite pnssanl par ce point rencontre la courbe en deux points symétriques par rapport à ce point.
11 résulte immédiatement de cette définition que le centre est le pôle de la droite de l'infini, et que, réciproquement, si le pôle de la droile de l'infini esl à distance finie, ce point est un centre.
f{u, v, w) = au*-ha'v 3 -ha"w t +1bvm+2b'wu-i-2ù"uv = Q (1)
l'équation tan^euiielle de laconique.
L'équation du pôle d'une droite quelconque (u„, t> , ir„) est
ou encore
Si la droite est à l'infini, u et u c sont nuls, et l'équation
devinnl
Peemiek cas. a" ^t 0. La conique est une ellipse ou une hyperbole.
Le pôle est à distance finie. La courbe a donc un centre, qui
Hosted by
a pour coordonnées -77 et — , ou, si l'on vcuL, pour coordonnées homogènes />', h et a".
Danslecas particulier où i est nul, l'équation (1) représente deux points, le centre est le milieu de ces deux points.
Deuxième cas. a" = 0. La conique est une parabole
Le pùle de la droite do l'infini est à l'infini, ce qu'on pouvait prévoir, puisque la courbe est tangente à cette droite. La parabole n'a donc pas de centre.
Le point où la courbe louche la droite de l'infini a pour coordonnées homogènes //, b et ; la direction as ymp lu tique a donc pour paramèlrcs directeurs b' et h.
H5. 1! résulte de là que l'équation générale des coniques qui ont pour centre le point (w, y) est
au 3 -+- a'v 1 -h Wuv + 2xuw -+- 2yvw -+- io a = 0. (S)
116. Théorème ne Newton. — Le liait ife maures des coniques tançantes iï quatre droit/:!: eut une droit" qui pusse, pur les milieu,': des diagonales du- qi'adrU.at'':.ra fo-nnè par las quatre droites.
Soient «,-, m, wj [i=l,2, 3, 4) les coordonnées des quatre droites.
L'équation d'une conique ayant pour centre le point (x, yi est l'équation (2) ; la conique étant tangente aux quatre droites données, on aura les relations
ij + a'v\ -+- 25*u, «i + SxttiWi ■+- 2t/r>iiDj -h
au^ + a'v\ -h Wu^t + 2x>!.pa.] -+- 2i/v- ! ii: i -+- ■
au$ -+- a'v\ -+- %b"u-,V;t -j- 2COU3IG3 -H 21/v-jW.i -+-
au 3 -+- a'vl -h 2b"ittVi ■+■ 2&tnv>i 4- S;/0(W+ -+-
En éliminant a, a', b" entre ces quatre équations,
on aur
lion du lieu.
On obtient ainsi
u\ v\ îfjPj 2«i*iWi -+- 2y«iM>i + u>\
u\ d| «.i'i 'ixuur-i -\ 'iilv i w l -\~xa\
!*j i 1 ^ "aï;: 2.r«aM; :( ■+■ 2i/5iiCj + w|
»* «î «^ 2»K«ie 4 + %>jv,v:,. -+■ ic\
équation qui représente u
Hosted by
128 C00HDONNÉ1ÎS TANGEKTIELÎ..E6 . — GÉOMÉTRIE PLANE
Deux sommets opposés du quadrilatère peuvent être considérés
comme formant une conique I argenté aux quatre droites; il en résulte que le milieu de ces deux points fera partie du lieu.
On voit ainsi que le lieu est la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère formé par les quatre droites.
117. Exercice. — Lintt (1rs centres /('•■■< /ii/iinrhulef '!'jtnlato) m en conjuguées par rapport à un triangle.
Prenons deu\ cotés du triangle pour axes de coordonnées ; soient 3 l'abscisse du point A et 3 l'ordonnée du point B.
L'équation générale des coniques conjuguées par rapport au triangle OAB est (1H; A(Ma + „)» + B(rE + wf + Orf = développant, +- C)w' + 2Aa«u! H- 2B3™ = 0. (3}
■x et y désignant les coordonnées du centre.
Nous obtenons alors
axv? -+- pi/» 3 + 2xuv; + 2yvw + ic 3 — 0, qui est l'équation de la conique conjuguée par rapport au triangle AOB et ayant pour centre le point [*, y).
Écrivons que cette conique est une hyperbole équilatére ; nous aurons l'équation du lieu.
On doit avoir
A + A' — 2IÎ" cos 8 =
a ' a " — b* + d'à — È'* — 2 (66' — n"b") cos = 0. Il vient dans le cas particulier considéré
?y — y* + aœ — o: 3 — 2xy cos 8 = a: a + y 2 -t- 2xy cos B — ta — $y = 0, équation du cercle circonscrit au triangle 0A13.
118. l'our que l'équation générale (Sj représente une parabole, il
[/équation L , énéiiilc(l'js}inralioli. , iri)|]juguées par rapport au triangle OAB sera donc
\u(tta -+- Sic) + im (ijp -+- 2io) = 0.
Hosted by
119. Diamètres. — Le lieu des milieux dos cordes parallèles à une direction fixe) dans une conique est une droite qu'on appelle diamètre conjugué de la direction donnée.
Ce lieu peutêtre en eil'ef considéré comme la polaire du point à l'infini dans la direction des cordes.
Soient a, p les paramètres directeurs de cette direction ; le point à l'infini dans cottes direction a pour coordonnées homogènes a, j3, 0. Si u, v, w sont les coordonnées de sa polaire], fL fl et f!„ sont respectivement proportionnels à a, fi et 0.
On a donc
Ces deux équations déterminent le diamètre conjugué delà direction a, p.
120. Les diamètres étant les polaires des points situés sur la droite de l'infini, doivent passer par le pôle de cette droite ; c'est ce que montre d'ailleurs la condition f', j: = 0.
11 en résulte que dans l'ellipse et l'hyperbole les diamètres passent par le centre, tandis que dans la parabole, ils sont parallèles à la direction asymptoiiquo.
121. Les relations (4) déterminent un diamètre tel que nous l'avons défini, seulement dans le cas où le point de coordonnées t, p, n'est pas situé sur la conique.
Dans le cas contraire, si ce point est siiué sur laconique, les équations (4} déterminent les coordonnées de la tangente en ce point, c'est-à-dire d'une asymptote si la conique est une hyperbole, de la droite de l'infini si la conique est une parabole.
122. Diamètres conjugués. — On dit que deux diamètres sont conjugués dans une: conique à centre lorsque chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à
l'autre.
Hosted by
130 COORDONNÉES TAKGENT1ELLES. -
Chacun de ces diamètres passe par le pôle de l'autre ; on peut donc les considérer comme deux droites conjuguées passant par le centre.
La relation qui lie les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués s'obtient en écrivant que les deux droites
sont conjuguées par rapport à la conique.
On trouve ainsi la relation connue
k'mm 1 -+- B"(m -+- m") -+- A = 0, qu'on pouvait déduire de l'équation ponctuelle de la conique.
123. Prenons comme axes de coordonnées deux diamètres conjugués quelconques, et cherchons l'équation tangenlirlli.' de la conique par rapport à ces axes. Les deux axes et la droite de l'infini sont les côtés d'un triangle conjugué par rapport à la conique. Les équations des sommets du triangle; étant
l'équation de laconique sera de la forme (111) Am» -t- Bu» -1- Cw E = 0.
124. Axes. — On appelle axe dans une conique un diamètre perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales.
U résulte de cette définition qu'on peut considérer un axe comme une droite dont le pôle est à l'infini dans la direction perpendiculaire à cette droite.
Soit ux -+- vij -h to =
l'équation d'un axe ; la direction perpendiculaire a pour paramètres directeurs m — ucosG et v — mcosO; le pôle de cette droite a pour coordonnées /„', fi, f,{. ; pour que ce point soit à l'infini dans la direction qui a pour j
Hosted by
w — v cos 0, et v — u cos 9 il faut qu'on ait
u — v cos v — mcosO' |
fi = o. S
Ces équations ilélenninenl les coordonnées des axes ; la première est du second degré, la seconde du premier ; il existe donc deux axes en général.
