Pour discuter les solutions de ces équatio

introduire une nouvelle inconnue S et écrire

î peut

/ï = 2S(«-t.cofi8),

fi = 2S(u — u cos 0), ce qui donne, en développant et en écrivant de nouveau la seconde des équations [$).

[a— S)m-(4*-t-S cos 0)v + b'to = 0, \ ;è"+Scos b)u-i-(a! — S]m-Éw = 0, i (6)

ïa + fo+« = 0. J

Les équations (fi) sont homogènes en v, v, w ; pour qu'elles admettent des solutions non toutes nulles, il faut que le déterminant du système soit nul. On doit donc avoir

a — S i"-hScos'J h

" -+- S cos a' — S b

Pour développer cette équation, on peu! décomposer le déterminant en une somme de quatre déterminants :

a If V

a S cos t

— S ScosO

S cos

Scosft —S

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132 COORDONNÉES TAISGENTIELLES. — GÉOMÉTB1E PLANE

de telle sorte que l'équation peut s'écrire

F(S) = a"& sin 3 8 — S(A -t- M — 2B" cos 6) -+- 1 = 0.

Si dans les équations (6) on remplace S par une racine de cette équation, cos équations admettront un système de solutions en w, », w qui seront les coordonnées d'un axe.

126. Pour que les racines de l'équation en S soient réelles, il faut qu'on ait

(A -h A' — 2B" cos 0) a — Aa"& sin 2 » > , et comme

a"i = AA' — B" 1 , la condition devient

(A + A'— 2B" cos tif — 4(AA' — B" s ) sin 2 > 0.

Ordonnons par rapport à B" ; on a

4B" J — 4B"(A + A') cos 6 + (A+ A') ; — 4AA' sin 2 6 > ou

[2B" — (A -+- A') cos B] s -+- (A — A') 3 sin s > 0.

Cette condition est toujours remplie ; l'équation en S ii donc toujours ses racines réelles.

Pour que ses racines soient égales, on doit avoir

2B" — (A + A') cos — 0,

On reconnaît les conditions pour que la conique soit un cercle.

127. C'est également dans ce seul cas que les équations (6] peuvent avoir leurs coefficients proportionnels et par suite

admettre une infinité de solutions en u, v, te. En effet, pour que l'on ait

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1 faut que

ŒM'liE, IJIAUKÏ'IMIB ET AXES

a — S 6" + S cos G //

cos

S est alors racine double de l'équation.

On peut donc dire que si la cou/que n'est pas un cercle, l'équation en S a ses racines réelles et distinctes, et qu'à toute racine de cette équation correspond un seul système de valeurs de u, v, ta donné par les équations (6).