est alors aisé de discuter
Premier cas. a" jt 0. La conique est une ellipse ou une hijfiçriiol.e.
L'équation en S a deux racines S, et S»; à chaque racine correspond un axe.
Je vais démontrer que ces deux axes sont perpendiculaires; soient, en effet, «„ t',, u.\ et u?, ti a , w 2 les coordonnées des uxes correspondant aux deux racines Si et S,. On a
/; = 2S,(«, - », cos 6), Il - SSife - b, cos G),
/',-, = SSitBi — u, cos G), fi t = 2B,fa — u, cos fi),
fi, = o, /■/,, = 0.
Multiplions les trois équations de gauche respectivement par «î, Bj, it'î, puis ajoutons; multiplions de même les trois équations de droite respectivement par u u v„ u\, puis ajoutons; on a «s/ï, + *>/>', + ÎOî/ï, = aSifUjWj -+- 11,1)2 — (WjDj h- «,«,) cos 01, «i/^ + ei/r, + «ift, = 2S,[ «.u. -h Oi« s — (u,* + y,»î) cos G]. Retranchons, en remarquant que les premiers membres sont égaux; il vient
= 2(S, — S,)[«iw a ■+- v,v 2 — {u lV , -+- »,«,) cos G],
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et comme S, — S 2 n'es! pas nul, on doit avoir
"i«3 -I- f i"î — (U)tia H- «il)[) cos — 0.
ce qui montre que les deux axes sont perpendiculaires.
lit en même temps on a aussi, d'après les équations précédentes,
«.A + b.A'. + wX, = 0;
par suite les axes sont deux droites conjuguées; ce sont deux diamètres conjugués rectangulaires.
Deuxième cas. a" =. 0. La conique, est une parabole. L'équation en S s'abaisse au premier degré, elle admet une seule racine.
' — -2B° cos 8 qu'on peut encore écrire, puisque a' — 0,
"4-26Ô' cos
Portons cette valeur de S dans la première des équations (fi). remplaçons A par sa valeur — ab 2 — a' b'* -+- 2W b" ; on
obtient.
«[o(6"-h26ô' cos 0) — a'b^ + Ibb'b"}
-^-v{b"(b 2 +- b") ^ (ab' + a'b'") cosli; H-6'wj(6 s + ô' , +266'cob0j = 0.
Cette équation, jointe à
/;;, = 2(b'u+bv) = Q,
détermine les coordonnées de l'axe de la parabole. De cette seconde équation, on tire
et en remplaçant dans la première on obtient
^ b"{b' a — 6 2 ) — bb'(a — a') + (o'i' s — ab*) cos 6 S -+- i' J -H 2W cos
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CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES Ida
L'équation de l'axe peut donc s'écrire
g(g g) - 6g(g q') .+■ (tt'i" - y) cos a
*»-*» + 6 . + 6'» + 266' cos 6 =0 '
129. On peut obtenir colle équation plus rapidement en considérant l'axe comme le diamètre conjugué de la direction perpendiculaire à la direction asymplotique.
Cette direction asymplotique ayant pour paramètres directeurs b 1 et b, la direction perpendiculaire aura pour paramètres b-A-b' cos S et — [b' -+- b cos 0). Les coordonnées de son diamètre conjugué seront déterminées par
b -+- b' cos 8 — {b' -+- b cos H) ' fi = 0.
Ces équations se déduisent aussitôt des équations (5) en l'omplinvaiil dans les dénominateurs u et v respectivement par les valeurs b et — b' que l'on déduit de la seconde équation ([„ = 0.
En résolvant ce système, on obtient pour w la valeur écrite plus haut.
130. Dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, les formules (3) se simplifient et deviennent
a = fj, r. = o.
L'équation en S s'écrit
fl'S'-S(A + A')+ i = 0.
Dans le cas de la parabole, les coordonnées de l'axe vérifient les équations
et l'équation de cet axe est
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136 COORDONNÉES TANGE.NTJET,LEK. GÉOMÉTRIE PLANE
131. Exercice. — - Trouves l' enveloppe des <ixes des coniques qui louchent deux droites fises en des points donnés.
Prenons pour axes de coordonnées les deux droites données ; soit ï l'abscisse du point A et p l'ordonnée du point B.
Nous allons chercher l'équaiion lamienlicllo iicnérale des coniques tangentes en A et SI aux droites Oa; et Ou,
II faut d'abord écrire que le pôle de Ox est le point A.
L'équation du pôle de Oie est
I fi = Vu + a'v + bw = 0.
On doit donc avoir
De même pour que la conique soit tangente à Oy un point B, il faut qu'on ait
Tirons b et b' de ces relations et remplaçons dan? l'équation de la conique ; il vient
u'on peut mettre sous lu forme
/>, „, ») = ïfl
{fl + aU w -+- pw + Xic» = 0,
étant une variable.
Les coordonnées des axes
sont déterminées par leséquati
fi
