S V — U COS
ft = o,
id) . p(aw + W ).
On aura l'équation de l'enveloppe en éliminant 1 entre ces deux équations. Mais lu première ne renfennunl pus le paramètre >. est précisément l'équation de l'enveloppe.
On peut l'écrire
a {Pw + «,)(»— mcosB) — ?(a«-H«)(M — i>cose) = 0,
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a p(„B — »I) + mib(P + «C01B) — «W>(« + P COSfl) = 0.
I, 'enveloppe est. une parabole dont l'axe a pour paramètres directeurs ? -+- o- cos 9 et — fa -+- ? cos 6) ; cet axe est donc perpendiculaire à la droite qui joint le point au milieu I de Ali.
On voit en outre que les coordonnées des tangentes issues du point à cette parabole satisfont à la relation
m« — v? — 0, c'est-à-dire que ces tangentes sont les liissectrices des a.\es de coordonnées. Le point est donc sur la directrice, qui se trouve être ainsi la droite 01, puisque cotte droite est perpendiculaire à l'axe,
132. Tangentes au\ soin mets. — Les tangentes aux sommets, c'est-à-dire aux points où les axes rencontrent la conique, sont parallèles aux axes.
On aura ies directions des axes en éliminant w entre les équations (b) ; on obtient
JE" — A' cos B)w s — mi>(A — A') — (B* — A cos 6)^ = 0. Les coordonnées des tangentes aux sommets devront vérifier celle équation ; elles vérifieront aussi l'équation de la conique
On peut donc dire que ces deux équations déterminent les tangentes aux sommets.
On aura les sommets eux-mêmes en prenant les points de contact de ces tangentes.
133. Les calculs sont, beaucoup plus simples dans le cas de la parabole.
La direction perpendiculaire à l'axe a, comme nous l'avons vu, pourpatamèlres directeurs i--t-i'cos9 et — (&'-+- éeos 1). Les coordonnées de la tangente au sommet satisferont aux deux équations
m(ô -h é'cos 0) — u(fi' + * cos 0) = 0,
Supposons, pour simplifier, les axes de coordonnées rectan-
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138 COORDOXSÉES TAXUEXT1ËLLE5. ■ — GÉOMÉTIUE PLANE
giilaires ; la première: ûqualion devient
bu— Vv=0;
on en tire
et en remplaçant dans la seconde il vient
a{4* + 6") et l'équation de la tangente au sommet est
*«+*- â(FTÔ =°-
Le sommet s'obtient, soit en prenant le point de contact de cette droite, soit en prenant l'intersection de l'axe et de la tangente au sommet.
EXERCICES ET NOTES
1. L'équation gtjnijraie Uui:;('i:lit;lle des coniques qui ont poi ;entre le point (#, y) est
Dans certains problèmes, on peut partir de cette équation poui obtenir le lieu des centres d'une conique variable.
2. Lieu des centres des htjper.'roli-s tiqiiUuthres i triaiujU.
Prenons deux cotés du triangle pour axes. OA = a, OB — r L'équation de la courbe est
26* HP -+- &cwu> -<r 2s">«> + ie ! = 0, avec la condition
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Pour que la conique soit une hyperbole équilatére, il faut qu'on
— %t — y 3 — 2 eus [xy — b") = 0.
éliminant b" entre ces équations, on a l'équation du lieu,
x* ■+- g"- + 2a;?/ cos tx 2g | [ Q x'fi cos « p
qui représente le cercle conjugué pur rapport au triangle.
3. Lieu des centres des coniques tau y en tes en un point donné à une droite donnée, ciinnaisstait v.i,e droite et sort pôle. Le lieu est une droite,
4 Lieu des centres des coniques tangentes à deux droites et passant par deux points.
I,e lieu est une conique passant pur le point d'intersection des deux droites, parle milieu de la dislance qui sépare les deux points, par le milieu de la partie interceptée par les droiles données sur la droite qui joint les deux points.
5. Soit xÙg -un angle fixe circonscrit à une conique, et AB une tangente telle que la partie Al! comprise entre les eûtes de l'angle ait une longueur minimum. Démontrer que les points A et B sont
•h.i ■/lidtstt'iti : s iln centre,
La conique étant tangente aux deux uses a pour équation
2XWB + %XUW> -f- Sj/mo H- w 1 — 0.
Soit - + | — 1 =0 l'équation de la tangente AB ; on aura SX — 2paj — 2%g-\-ap =
ÂB ! = «* + 3* — 8ap cos 8.
DilTéren lions- ce* deux équations ; on aura
— Zxdï — 2yda -H ad$ -J- pda = 0, adx-r-%d$ — (xd'fi + $da) COS 9 = 0.
En éliminant det et d[J on trouve
% — a cos 1 ï-3c qui montre que le centre est sur la droite perpendiculaire à AB me-
6. Un triangle ABC est circonscrit dune conique, 'es points de
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140 COORDONNÉES TANUE.VTIEIJ.ES. — GÉOMÉTRIE PLANE
contact '.'tant a, ii, <-.. Démontrer q"<: la droite qui joint le. sommet A ni', point d oh le diamètre: Oa rencontre la carde de contact bc /Hisse par le milieu du côté BC.
7. Une hyperbole, est tuai/ente aux u.xes d'une ellipse et les asymptoi.es de l'iii/perl/oh; son.' la, nie, îles à l'ellipse ; d'énanirer que le centre de l'hyperbole est sur l'un des diamètres conjni/ués èijaax de l'ellipse.
aHfl + Pv* — w' = 0, (!)
a),!(u -+- 2a;uio -+- Syrie + io s — (2)
étant les équations de l'ellipse et de l'hvperbole ; les asymptotes ik: l'hyperbole sont déterminées par les équations (2) et (3)
ux + v IJ + w = 0. (3]
!l faut écrira qui; 1rs solutions du système [il) ci (:S; vérifient l'équation (i). Pour cela, éliminons w entre (2) et (31 puis entre (1) et (3) ; on a les équations
(uœ-r-vyf — 2am« = 0,
et pour que ces deux équations aient mêmes racines, il faut qu'on
re qui démontre le tliéoivnie.
8. On mène une tangente commune à deux coniques concentriques et on joint les -points de contact au. centre : denioiileer que ces droites et les cordes communes qui passent par le cuire forment un faisceau lournioniqi'f: .
