RÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ I
Si p désigne le paranuMiv, l'équation s'écrit
ot, l'on a
I 4 I sin- H p =
[i' + ft" -+-2S6' cos n) a
,a| désignai) L la valeur' absolue de à.
138. Applications numériques. — 1" Soit à trouver l'équation réduite de rhyperhok équilalèrft déjà étudiée au numéro 99. Son équation, rapportée à des axes rectangulaires, est
M a +tc 3 H 2m ,„ 2uv = 0.
On a
l'équation en S est donc
— 2 + S 2 -0; par conséquent l'équation réduite est,
ffl«" -»")+«■'■ = o.
Son équation ponctuelle est
rfl — y-l+^ï -o.
2° Considérons maintenant la parabole qui a pour équation
ifi — 4îHJ + 4t;2 — 2uio H- OtO — .
Calculons son paramètre, en supposant droit l'angle des a\cs, 4= « »+V = ± S
139. Dans les problèmes où ligurent des coniques de grandeur constante, il faut se servir de l'équation aux longueurs des axes ou de l'expression du paramètre.
Si l'on veut écrire par exemple qu'une ellipse a pour derni- 1 «rigueurs d'axes ^ et p, on écrira que l'équation en pa"p f - + a"(A + A' — 2B" cos 0)?- + i sin a 6 = a pour racines a a et p s , c'est-à-dire que
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150 COORDONSÉES TAXdEM'IELLES. GÉOUÉTUIE PLANE
A -4- A' — 2B" cos
140. Problème. — Une ellipse de grandeur cde son centre ; trouver le lieu, du pôle d'un a droite fixe et l'enveloppe de In polaire d'un point fixe.
Prenons deux axes rectangulaires passant par le centre de l'ellipse, l'axe dos y étant parallèle à la droite fixe.
I 'équation de la droite fixe; appelons a et p les demi-axes de l'ellipse.
L'équation de cette courbe sera
on peut en effet supposer qu'on a [in'aliiblement divisé le premier membre do l'équation par a" ; de pins le centre étant à l'origine, les coordonnées de ce point sont nulles.
Écrivons que les demi-longueurs des axes sont égales à i et ? ; on
Les coordonnées du pôle d'une droite (m, v, io) sont £ au + Ve fi
nous aurons les coordonnées du pôle de la droite lixe donnée, en
fnisant dansc.es formules
On obtient
En éliminant
l'équation du lici
On obtient san
a, a' et b" entre les équation;
s difficulté
* (2) et (3), «i
p»(*> + y") — px(a? + p*) -+- «*p* - o, équation d'un cercle qui a son centre sur Qx.
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RÉDUCTION DE l' ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 151
Cherchons maintenant l'enveloppe dos polaires d'un point pur rapport à la même ellipse.
Prenons deux axes rectangulaires passant, par le centre de l'ellipse, l'axe des œ contenant le point lise, dont nous désignerons l'abscisse par d.
Si u, v, w sont le* coordonnées de lu polaire de ce point, on aura
En Éliminant a, a' et b" entre les équations (2) et (4), on aura l'équation tangentielle île l'enveloppe cherchée.
On trouve
«sp»( M > -+- *■] +- <Pw* -+- rf(«s + P)uw = 0.
On voit que l'enveloppe est une hyperbole (a"i < 0) symétrique par rapport à Qx, puisque l'équation ne change pas quand on change v en — v.
Le centre a pour abscisse — — — ; on a aisément les sommets en cherchant les laneentes parallèles à O'iy c'est-à-dire en écrivant que x— ^ — est tangente; on trouve ainsi que les sommets ont pour abscisses — et y< ce qu'on pouvait voir a priori.
Enfin, on peut remarquer que les tangentes issues de l'origine satisfont à l'équation
elles ont pour coefticients angulaires ± t : l'origine est donc
