Deuxième méthode de réduction. — Invariants
Nous allons démontrer qu'étant donnée l'équation d'une conique
il existe certaines fonctions des coefficients et de l'angle des axes qui conservent la même valeur quand on fait une transformation de coordonnées quelconque ; ces fonctions s'appellent des invariants.
Dans les formules de transformation (4) établies au numéro 34, nous avons introduit un facteur a arbitraire; il esl clair que les invariants dépendent de ce nombre ; nous le
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152 COORDONNÉES TANGEXT1EU.ES. — GÉOMÉTRIE PLAXE
choisirons de manière que les racines de l'équation en S soient des invariants.
Il importe pour cela que l'on ait
u* -i- u 3 — 2wî) cos = w' 2 + îi' s — 2uV cos »',
u, v, w et u', v', w' désignant les coordonnées d'une même droite dans les deux systèmes, et 0' les angles xO>j et x'Q'y'.
Egalons les distances du point 0' à cette même droite, calculées par rapport ans deux systèmes d'axes; on aura, au signe près,
-' sin <(
{up -+- Vf/ -j
v' cos 0' v'" 2 -+- v 3 — luv cos (l cos 0' M s -!u 5 — 2w« cos ')
Pour que les numérateurs soient égaux, il faut que les dénominateurs le soient, c'est-à-dire que
w" sin 2 0' = (up -+- vq -+- w) 2 sin 2 U.
Mais nous avons la formule
lw' — up-\-vq+W.
On doit donc avoir
' sin 6'
on peut prendre le signe H-, et les formules de transformation deviennent, en remarquant que jî — * = G' ;
psina— £8in^B-a}
sin
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REDUCTION DE T. EQUATION DU SECOND DECHE
l,e module do la stifoslitiitiou est alors
sin
in(O-p)
sin a
sin
sin (0 — a)
sin 2
~ sin 2
sin (l
Cefa posé, remplaçons dans le premier membre de l'équation de la conique f(u, v, m), u, », m par les valeurs cidessus ; f(u, », W) devient une nouvelle forme quadratique
Si A, désigne son discriminant, on sait que
ou en remplaçant \i pai
valeur,
On voit ainsi que l'expression - iist un invariant lel
sin* U que nous l'avons déûni.
Démontrons maintenant que les racines de l'équation en S sont des invariants.
En tenant compte des formules de transformation, on a
Donc, on a, quel que soit S, /"(m, », w) — S(w s -h »' — 2wu cos 0) = /-,(,/, b', m/)
— S(w' 3 + »' a — 2«V cos 0'), ce qui revient à dire que le second membre se déduit du premier par la transformation indiquée: plus haut.
Si l'on désigne par F(S) et F,(S) les discriminants des formes quadratiques qui figurent dans les deux membres, on aura, quel que soit S,
Or F(S) et F^S) sont les premiers membres des équations
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154 COÛRDONKÉEH TÀNHENïTELLES. GÉOMÉTRIE PLANE
en S relatives aux deux équations
rt«, .,») = <>.
A(«', »■,»') = 0; il on résulte que les équations en S ont mêmes racines. L'identité précédente peut d'ailleurs s'écrire
a, — (A, 4- Ai — 2B; cosO')S + a t S ! sin 3 H'
^ ^li [A — (A + A' — 2JÏ" cos »)S -h «"S 5 sin s
On en déduit
A, -t- Ai — 2B; cos 0' A + A 1 sin 1 0' s
sin a 1 ~~ 3in a e" On voit ainsi que les fonctions
i a -h A' — 2B"eos '
sin 1 (J sin 1 sin 2
sont des invariants.
Nous démontrerons plus loin qu'il n'en existe pas d'autres, c'est-à-dire que tout invariant est une fonction de ces trois quantités.
142. On peut déduire très simplement de ces considérations l'équation lanp'entielle réduite d'une conique.
Premier cas. a"=£0.
La conique eut une ellipse ou une hyperbole.
L'équation de la conique rapportée à. ses axes aura (123) la forme
a,w' s + «îb' 1 H- «Jw'* =0,
l'angle 0' des nouveaux axes de coordonnées étant '-•
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RÉDUCTION DU L ÉQUATION' DU SECOND DEORlî
En appliquant les formules (5), on a
A + A' — 2B" cos f
i déduit de là
A -H A' — 2IÎ" cos') "• + <*' = 5 ^î 5
On voit ainsi que a, et a', sont racines de f'équatior a"S 3 sin" - (A -+■ A' — 2B" cos fl)S + i = 0, c'est-à-dire de l'équation en S, et que
sïu s L'équation réduite sera donc
143. Nous pouvons maintenant établir que tout invariant est une fonction des trois invariants trouvés plus haut, à savoir,
a A -h A' — 2D" cos a'
sin* 6 sin 4, . sin a '
En eflet, s'il existait un quatrième invariant H, on aurait la relation
H, désignant cet invariant formé avec les coefficients de la forme réduite.
En éliminant a,, a' t , a't entre les équations (6) et (7), on aurait une relation entre les coefficients a, a\ a", b, b', b", ce
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15l> COORDONNÉES TANGENT1ELLES. ■ — ■GÉOMÉTRIE PLANE
qui est manifestement impossible, puique ces coefficients peuvent être choisis artnlrairemenl..
II faut donc que la relation (7) soit conséquence des relations (6), c'est-à-dire que II soit fonction des trois premiers invariants,
144. On peut même par ce procédé trouver l'équation de la conique rapportée à deux diamètres conjugués faisant l'angle 0'.
Cette équation a toujours la forme simple
et l'on a
sin
"' O 1 sin' il '
:is ,;
