Deuxième cas
La conique est une parabole.
On peut avoir a priori la forme de l'équation de la parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité. La courbe passant par l'origine et ayant pour tangente O'j/,
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RÉDUCTION DE l'ÉQUATÏON DU SECOND DEGRÉ 157
l'ensemble dos Lcrmcs du deuxième degré en iï et v' se réduit à a{î)' a ; de plus la direction OV étant la direction asymptotique, on a fi, = 0, de telle sorte que l'équation est aW 1 + 2éiuV = 0.
Si les axes sont rectangulaires, la parabole est rapportée à son axe et à sa tangente au sommet.
Écrivons les formules (5), qui sont au nombre de deux, puisque a" = a" = U ;
si u 1 U
,„ A H- A' — 2B'cos sin 1 8
on en tire
A + A' — 2B" cos
cos '
-(A-!- A' — 2B" cos 0]
i + Ihb 1
es 'J
sin a
i.'squatio
n réduite est alors
-+- 6'" -l- ± sin 2
bb' cos , ,
* + %bb' cos
ou
Ao'» sin 2
(fis + lt* -+■ Ibb' cos 0) 1 Le paramètre p a donc pour expression I i I sin 2
(i"+i' a + 2M' cos 0) a On pourrait aussi, d'uni.' façon analogue, obtenir l'équation de la parabole rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre, en se donnant l'angle il' de ces deux droites.
146. Exercice. — Trouccr l''. :, jn".tion d'iu-v, hi/pcrlicilv rapportée, à ses asymptotes.
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158 COOUDONNÉES TAM1EY
Soit f{u, v, w>) = au 2 ■+■ «'»» + a"w 2 -+- 2&tno + 8&W -+- 2&"mp = l'équation d'une hyperbole rapportée à deux axes faisant l'angle 6.
Nous dous proposons de trouver l'équation de r.etle courbe rapportée à ses as; mp tôles.
Le centre étant à l'origine, on aura
Do plus les tangentes issues do l'origine étant les deux axes, les ternies du second degré en i/ et o se réduiront à i'/juV, de telle sorte que l'équation de la courbe sera
Les relations entre invariants peuvent alors s'écrire, en désignant
par 6' l'angle des asvmpkdes.
la'\b'[ eos ')' A + A'-
De ces formules on peut tirer a\, b\ et 0'.
En divisant les deux premières successivement par la dernière,
— K sin' '
in 2 e'
2b", cor a'
— ZV,"
sin' 0'
si II'' '
en
éliminant
6", il vient
4Ae
° sin a
nos
HJ*
en
déduit aisé
iment a* et
EXERCICES ET NOTES
i. On peut obtenir les longueurs des axes d'une conique représentée par son équation tan^entiellc, en revenant à l'équation ponctuelle, et en transformant les résultats connus.
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RÉDUCTItra DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 159
Sr.it
f(u, », m) = au 2 -+- «V + <*"te 3 -\- 2boto + 26'wu + ib'uv l'équation d'une conique à centre, [.'équation ponctuelle de celte conique est
<f[as, y, ï] = Aœ3 + AV-f-A*i» + 2Bjfï + aB'«+ 2B"asj/ = 0, et l'on sait que les demi- longueurs des axes sont racines de l'équation
dY-hWdps + ÏÏ* sin 3 — 0,
où l'on désigne par D le discriminant de la fonction w[a;, ;/, s) et où l'on pose
rf = A' A* — B\ E = A -i- A' — 21Î" cos (l.
Or on a D = A*, d = «°i;
en remplaçant, on ohlienl l'équation trouvée au numéro 136, a "Y 4. Ea'p' H- A sin 2 = 0.
On peut faire un calcul analogue pour la parabole.
2. Lieu du centre d'une ellipse de grandeur conviante tangente « une droite donnée en un point donné.
Prenons ie point pour origine et la droite pour ;ixe des m ; l'équation delà courbe sera
ï.u 2 -+- 2xuio ■+- 2yvw -+- vfl — ; écrivons que ses axes sont égaux à a et b; on a
a 2 -+■ b- = as 3 + y 3 — A, a-È 2 = — Xî/ 1 ;
éliminant ), entre cos doux équations, on a l'équation du lieu.
3. Enveloppe de l'axe- d'une parabole de paramétre, donné tangente '). deux droites rectangulaires .
4. Lieu des centres des coniques inscrites dan; un triangle et dont
la somme des carrés des axes es/ constante [Stkiner).
Le lieu est un cercle qui a pour centre le point de concours des hauteurs du triangle, et qui se réduit, au cercle conjugué si la somme donnée est nulle, c'est-à-dire si les coniques sont des hyperboles
équilalrres. (Voir ex. 2, p. 138).
5. Parmi toutes /es eoniqi'.es inscrites dans un rectangle donné, il y en a deuœ qui passent par un point donné A.
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160 COORWKSKKS ÏAMjENTIKl.I.ES. — (JÉnJlKÏIUE l'LAN'k
Etudier la nature de ces coniques et trouver lu lieu du point A pour lequel le-; deux ellipses qui. y passent ont la même aire ou
dus aires qui sont dans un rapport donné.
6 . Trouver Vèqaatym ta.agentie/ie il une ellipse ilonnée rapportée à dau.x la.iajp.iifes au..- extrémités des a,-:. a-ires aanjuguès èqa.ax.
7 . On considère des hyperboles asymptotes à une droite, tangentes à- une autre droite et telle* que le rectangle construit sur les axes ait une aire constante. Trouver l'enveloppe de la deuxième asymptote et l'enveloppe desaxes.
Prenons l'asymptote pour axe des w, la tangente pour axe îles y ; l'équation tangcnticllc des hyperboles est
Soit 4A 2 l'aire du rectangle construit sur les axes ; on a
ce qui montre que b" est constant et a deux valeurs égales et de signes contraires. Le seul paramètre variable est b'. Les asymptotes satisfont aux équations
qui représente une hyperbole rapportée à ses i
Les axes sont déterminés par les équations
