V —- M COS
en éliminant b', on a l'équation Eanjientidle de l'enveloppe des a\es, ijui représente une courbe de troisième classe.
8. Une ellipse, de grandeur donnée tourne autour de son centre. Bans chacune de ses positions, on lui mène des tangentes aux points où elle est coupée par deux droites perpendiculaires jixex, menées par ce centre. Trouver le liait th-s points de rencontra, de ces tangentes.
Trouver aussi l'enveloppe des cordes de contact ainsi déterminées dans l'ellipse.
9 . L'équation d'une ellipse ayant pour centre le point (as, y), pour
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RÉDUCTION DE l'ÉQOATION DU SECOND DEGRÉ 161
axes des riroiles ai: coi'f'f Lt?i -:n t> angulaires m el — — • el pour longueurs d'axes 2a et 2p, est
10. Une ellipse a son centre sur /'ne hyperbole donnée et touche les asymptotes de cette hyperbole ; démontrer que la corde des contacts, correspondant au maximum 'le l'aire île l'ellipse, est tangente à une hyperbole semblable à l'hyperbole donnée.
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147. On appelle foyer d'une conique un point tel que les tangentes issues do ce point à ia conique soient parallèles aux droites isotropes, ou, ce qui revient au même, passent parles points cycliques du plan.
Si la conique n'est pas tangente à la droite de l'infini, si c'est une ellipse ou une hyperbole, on pourra par chacun des points cycliques mener deux tangentes à cette conique; ces quatre tangentes se couperont en quatre points qui seront des foyers. Les deux points cycliques étant imaginaires conjugués, les tangentes issues (ie l'un de ces points sont imaginaires conjuguées respectivement des tangentes issues de l'autre ; les deux tangentes imaginaires conjuguées se couperont en un point réel.
Il en résulte qu'une conique à centre admet deux foyers réels et deux foyers imaginaires conjugués.
Si la conique est tangente à la droite de l'infini, si c'est une parabole, par chaque point cyclique on ne peut mener qu'une tangente, ces deux tangentes déterminent un seul foyer.
Donc (a parabole admet un seul foyer réel.
Nous allons maintenant déterminer les coordonnées de ces points.
Soit f(u, v, w) - au- ■+■ a'v 1 ■+- a"w* -4- Ibvu- H- 1b' mi -t- Wuv = l'équation langenlielle de la conique.
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Cherchons l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues d'un point (x, y) à cette conique. Nous écrirons pour cela que la droite
rst tangente; on a
am > -î-a'-\-a\ij~- mx)* — 2b{y — mx) + %b'm(u — mx)~2b"m = et, en ordonnant par rapport à m,
mïid'x* — 20'tf+a) — 2m(a"a:j/— bx— b'y-i-b")-ha"y i —^bij-i-a' = 0. Le point (#, ;/) sera foyer si cette équation a mêmes racines que l'équation
m' -h 2m cos 0+1=0, c'est-à-dire si l'on a
a"xy — bx — b'y+b" „ , ,
Ces équations déterminent les coordonnées des foyers.
Pour discuter aisément, supposons les axes de coordonnées rectangulaires; l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues du point (x, y) doit avoir mêmes racines que
l'équation
on obtient alors les conditions
a"xy — bx — b'ij -h b'' = 0. \
