I.e foyer est déterminé par les équalions
-!„ + . = ïï£U! = , w +„l>.
V.n éliminant ;i, on u 1 'équation du corde des neuf points. L'équation de la directrice est (159)
2x{ I + n cos fi) -t- 2y{fx ■+■ cos 6) — [a -t- u$ = 2(as + y cos 6) - -x + (i[2(« cos + y) - p] = ; elle passe par le point de rencontre des perpendiculaires menées au* milieux des cotés OA et OB.
2. La condition nécessaire et sa/fisunte poire qu'un point soit foyer, est que deux droites conjuguées que/couques passant par ce point soient rectangulaires.
3. Enveloppe de lu directrice d'uiw ellipse dont on donne un foyer, l'excentricité et un point.
L'équation ponctuelle de l'ellipse sera
en prenant le fover à l'origine. Ecrivons que eclte ellipse passe par le point donné [a, 0); on a
équation qui représenta un cercle avant pour centre le point donné et pour rayon — ■
4. On donne une parabole I 1 et une de ses tangentes t dont le point de contact est A. Par les différents- points de t on élève des
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176 COORDONNEES TAN8ENTTELLE8 . — GÉOMÉTRIE PLANE
gerpcndici.daïrcs aux tangentes à, [' menées par ces points, autres que t. Ces tangentes enveloppent une seeon.tle parabole P', tangente à t '•n lui point- Fi. Les paraJtotes V et ['' ont meute fotjcr ; l.cu'is axes sont, perpendiculaires, la directrice de 1' pas.se pur B, ta. diei'Ctrice île I'' passe par A.
5. Lieu des foyers ries co?tipues tunijentes à deux droites données en des points donnés. Se.pa.rer sur le lieu, trouvé les foyers des ellipses et des hyperboles.
6. D'an point jiW.; sur une strophriidr: droite, on mène les deux tangentes à la courbe, autres que. la tangente au point ronsidèré. Démontrer que la corde des contacts enr.cloppe. une parabole ayant uu-one axe et même sommet que la strophoule, et son foyer symétrique du point double par rapport à ce sornmet.
7. On donne deux a.xes rectangulaires Or,. ()y et unpoint A sur Ose; on. ronsidèré les para.ti.ili's 'unacutes à. Ot.t à l'origine et passant pur le point A ; ait 'le, nantie l'en rcloppe. des. axes et des directrices .
L'équation générale tics paraboles tangentes à 0;/ h l'origine esl v 3 -f- 2bvw + 26'tuw — 0.
L'équation de.; point; de rencontre de cette courbe avec Ox est
(v + 6w) a — (u 2 -f- ibme -\- 26'icw) = ou
w(bho — 2b'tt) — 0,
ce qui donne l'origine et le point d'ab.-;cisse — tt! "f '•" Jrii donc,
en désignant par a l'abscisse du point A,
et par suite l'équation générale dp; paraboles seni u 2 + Zbvw — bHwu = 0.
11 est alors facile de voir que les a*es enveloppent une hypocydoïde à trois rebroussements et. que le; directrices enveloppent une
[tiii-iibolG.
8. Lieu des foyers d'une ellipse de grandeur constante qui se déplace en demeurant tangente, à. deux droites perpendiculaires.
9. Lieu des foyers des paraboles tour liant deux droites données et
dont la directrice passe par un point donné.
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l'OVKRS ET DIRECTRICES 177
tP. Z&li/wàes $//'>ri)it:>s àn< paraboles touchant deux droites perjjcit'lii-i'leirnx, et dont le foyer ilècrit un cercle quia, cet: deux droites pour diamètre.':, est une liypocycl,,u/c à q".a ! re ïchyuiissew.nls.
L'équation des paraboles est
2bvto ■+- 86'wm -h S6°mo = , avec la condition
nous pourrons prendre
Les coordonnées de 1;l tangenlc au sommet satisfont aux équa-
2bvw -\-2b'wu-\-2b"uv = 0,
bu — b'v = ;
on en déduit aisément les coordonnées du point de contact, et l'on
il. Si taie droite, fixe rencontre, une sirie de, coniques ayant même foyer et même directrice, les tangentes à ees coniques aux points où elles rencontrent la droite fixe enveloppent une critique qui a même foyer i/'-e les proposées, et qui louche û la fois leur directrice et la droite ji.r.e. Cas oà la droite est à l'infini.
12. Si on coupe iMie.r, tant/entes ii lu parabole par une perpendiculaire à l'axe, et qu'aux points Tj et (.! on elle les rencontre on élève des perpendiculaires à ees tangentes, la droite AU qui joint le point de concours D de ees perpendiculaires au point de concours A des tangentes passe par le foyer.
