Lieu des foyers des coniques tangentes à deux côtés d'un
triangle et aux hauteurs correspondantes.
14. Lieu des foyers d-:.i parabole': dont les directrices passent par un point fixe et qui touchent deiur, droites données.
Le lieu est un cercle circonscrit au triangle qui a pour côtés les deux droites et pour point de concours des hauteurs le point donné,
15. Si d'un point P pris sur une normale fixe à une conique on mène les trois autres normales, les trois côtés du triangle formé par les pieds enveloppent une parabole tangente aux axes de la conique,
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178 COORDONNÉES TANGEXT1ELLES . — OÉOMÉTRTE PLANE
et dont i.i.: foyer est la projection du centre sur la tangente, au point diamétralement opposé ou pied du la normale fixe.
Soit -j + t; — 1 =0 l'équation de la conique donnée. Désignons par usa -+- vy ■+■ w — une des droites dont on cherche l'enveloppe; les normales aux points de rencontre de celte droite se coupent en un point par lequel on peut mener deus autres normales, et la droite qui joint leurs deux pieds a pour pôle le point
» 2 b 2 . — — ) a et (S désignant les coordonnées du pôle de la
droite uco -+- vy -+- w = 0, en vertu des formules bien connues de ■loacliimslhal. Or le pôle de cette droite ayant pour coordonnées
et — — , les coordonnées do pèle de la deuxième droite
seront — et — ■ Il suffit alors d'écrire que ce pôle est sur la tangente au pied (a-j, iji) do la normale lixe, ce qui donne
b^vw -t- o'yiwtt — o ! 6*»« — 0,
équation laiigenlielle d'une parabole tangente aux deux axes. Le
foyer est déterminé par les deux équations
b-xx, -+■ ahjy, ■+■ a^b 1 := 0,
ce qui démontre le lliéoivir.c.
16. Lieu des foyers des eoniques ayant même directrice et loue deux droites.
17. Kurelojipe des droites coupant, deux cercles suivant de' ce,
18. Enveloppe de la directrice d'une, conique ayant un foyer passant par un point et touchant une droite.
19. Une parabole étant inscrite dons un angle donné, si la diret des diamètres est donnée, le lieu des foyers est, une droite.
20. Lieu des sommets des paraboles qui., homofocales à une parabole donnée, sont tangentes à deux normales rectangulaires à cette courbe.
Le lieu est un cercle prissanl parle foyer fixe, et l'autre extrémité
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du diamètre passant par ce point est le symétrique du sommet de la parabole domine relativement à son foyer,
21. On donne trois conique* iujn.nl un foyer F commun. Démontrer que l'envelopepe des dro'des telles que leurs pôles par rapport à ces trois coniques snient en lù/m: droite, est irne conique ayant un de ses foyers en F.
22. On donne un point et une droite, et l'on considère les coniques ij"i ont le point pijur centre et la droite pour directrice. Dcn'Oiitier qu'il. e.riste deux de ces coniques tanae.nles à une droite quideorque du pistil, et trouer comment doit ivre placée la droite pour que tes ilc.c coniques qui ,'<<<' sont irmaert/c-.- soient réelles.
Prenons le centre à l'origine, et soit œ — a — l'équation de la directrice. Ihi trouve aisément que l'équation générale des coniques est
En écrivant que celle conique est. tangente à une droite quelconque (u, v, 10), on a une équation du deuxième degré par rapport à \ qui détermine deux coniques.
Ecrivons que l'équation en X a ses racines réelles; on a
représente une parabole P ayant pour foyer l'origine, pour axe Oy
ot pour tangente rm
■5 = 0; par suite cette parabole passe par le point A (a, 0).
L'équation «(u 3 -HJ ! )-r-a»ui= représente également une parabole symétrique de la première par rapport à 0».
Nous avons obtenu au numéro 84 l'interprétation géométrique du signe du premier membre de l'équation tangentielle d'une conique. Remarquons ici que les discriminants des premiers memlies paraboles sont égaux; il en résulte que la
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180 COORDONNEES TAKGESTIELLE3. GÉOMÉTRIE PLANE
condition (1) exprime que la droite («, v, w) rencontre les deux paraboles toutes deux en des points réels ou toutes deux on des points imaginaires. Mais on voit sans peine (analytiquement et géométriquement) qu'une droite no peut rencontrer à la fois les deux paraboles en des points imaginaires.
11 en résulte que pour qu'il existe deux coniques réelles tangentes à une droite du plan, il faut que cette droite rencontre les deux paraboles en des points réels.
23. Lieu des foyer* des paraboles qui fauchent deux droites données et dont l'axe -pause par un point donné.
24. Foyers dans les courbes quelconques. — On appelle foyer d'une courbe quelconque un point tel que parmi les tangentes issues de ce point à la courbe, il j en ait deux passant par les points cycliques.
Si la courbe est de classe n, par chaque point cyclique on peut lui mener n tangentes; les tangentes issues de l'un des points rencontrent en n s points les tangentes issues de l'autre ; la courbe a donc n % foyers, dont n seulement sont réels. Cette conclusion n'est exacte que si la droite de l'infini n'est pas tangente à la courbe ; dans ce cas le nombre des foyers se réduit.
Si la courbe passe par les points cycliques, c'est-à-dire est circulaire, le point de rencontre îles tangentes aux points cycliques est ce qu'on appelle un foyer singulier.
On détermine aisément les foyers d'une courbe définie par sou êqualion tangenlielle f(u, e, w) = 0. On cherche l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues d'un point (œ, y), c'esià-dire
f(m, -i, v -mx) = 0, et on écrit que cette équation admet les racines ±i (les axes de coordonnées étant rectangulaires).
