COMMUNES A DEUX CONIQUES

Celte équation est homogène et du quatrième degré par rapport à v et w; pour toute solution [v„, w„) de celte équation, les équations (1) ont une racine commune w . L'ensemble de valeurs w , !!„, w a constitue alors un système de solutions communes aux équations tangenlielles îles deux coniques ; par suite la droite

est tangente à la fois aux deux coniques.

K(v, w) est décomposable en un produit de quatre facteurs linéaires ; soit m -+- «f l'un d'eux ; à ce facteur correspond la solution

de l'équation (2), et pour avoir la valeur do w correspondante, deux cas sont à examiner.

1° Supposons que ces valeurs v e et w mises à la place de u et de w dans P et P[ n'annulent pas P, — I'; on sait alors que les deux équations (i) ont une seule racine commune, qui est donnée par

Qi-0 "° ' 1', — P '

en remplaçant dans le second membre v et ■«.■ par v et »„.

Dans ce cas, au facteur ua-t-wjl du résultant R(o, w) correspond une seule tangente commune aux deux coniques.

2 1 Si au contraire les valeurs v a et v: a annulent P,— P, elles annulent aussi Qi — Q d'après l'équation (2); si on remplace alors ti et w par c„ et w c dans les équations (i), ces équations sont identiques, elles admettent deux racines communes w et «'„; par suite les deux coniques ont deux tangentes communes,

et ces deux tangentes se coupent sur Taxe des y.

Dans ce cas, au facteur du résultant correspondent deux tangentes communes se coupant sur l'axe des y.

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164. Il est important de remarquer que dans celte dernière hypothèse le facteur sv ■+- pu) est facteur double de R(w, v>).

En effet, puisque les valeurs v = p et w — — y. annulent i\ — P et Q t — Q, ces fonctions sont divisibles par

au-j- pic, et l'on peut écrire

Qi-Q==ç(-o-t-pw], p étant une constante et g une fonction linéaire. Ou en déduit

POi-UPi = (Pî-Qpï(«» +?«■') et aussi

R(ti, w;) = (MH-pwHî'-ptPï-Qp)].

ce qui démontre la proposition.

La réciproque n'est pas vraie, il peut arriver qu'un facteur double de K(», «.') ne divise pas P, — P,

165. Dans la pratique, pour résoudre l'équation (2), on opère comme s'il n'y avait qu'une seule inconnue. On commence par supprimer le facteur iv, s'il existe, puis ou résout l'équaliou par rapport à — ; c'est une équation à une seule inconnue qui peut admettre des racines réelles ou des racines imaginaires conjuguées deux â deux. Si l'on a, par exemple, la solution — — A, on pourra prendre pour valeurs de v et de w), v = h et u> = l.

Si h est imaginaire, la tangente correspondante est imaginaire; si k est réel, il faut encore pour que la tangente soit, réelle que la valeur correspondante de w soit réelle; cela arrivera toujours si le système (e = ft, w = 1) n'annule pas P, — P ; mais si ce système annule P, — P, on a deux valeurs de w correspondantes, racines d'une équation du second degré, et ces deux valeurs ne sont pas toujours réelles.

Dans tout ce qui suivra, nous appellerons racines de l'équation (2) les valeurs de — ; dans le cas où R(u, w) admel-

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TANGENTES COMMUNES ,\ DEUX CONIQUES IflO

trait le facteur w, il faudrait aussi considérer comme racine nielle la valeur w = 0. v étant arbitraire.

166. Discussion. - Premier cas. — L'équation (2) a quatre racines simples.

D'après ce que nous avons vu plus haut (164), aucune de ces racines ne peut annuler Pi — P; à chaque racine de l'équation (2) correspond une seule valeur de u.

Les deux équations (1) ont donc quatre systèmes distincts de solutions communes, les deux coniques admettent quatre tangentes communes différentes.

Pour qu'une tangente commune soit réelle, il faut et il suffit que la racine correspondante de l'équation (2) soit réelle. puisqu'il cette racine ne correspond qu'une valeur de u; il résulte de là que les deux coniques admettront : ou Lien quatre tangentes communes réelles, ou bien deux réelles et deux imaginaires conjuguées, ou bien quatre tangentes imaginaires conjuguées deux à deux.

167. Deuxième cas. — L'équation (2) a une racine double et deux racines sïmp/es.

Aux deux racines simples correspondent deux tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées. Quant à la racine double, il peut se présenter deux cas selon que cette racine annule ou non P, — P.

1° Si la racine double n'annule pas P, — P, à cette racine correspond une seule valeur de u, et par suite une seule tangente commune.

On dit quelquefois que cette tangente est double; cela revient à la considérer comme réunion de deux tangentes communes; nous pouvons d'ailleurs justifier celte manière de voir, en démontrant que cette tangente touche les deux coniques au même point.

En effet, puisque l'équation (2) a une racine double, celte racine satisfait aux équations

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Kn adjoignant à cette racine la valeur

on a les coordonnées de la tangente commune.

Nous allons démontrer que ces coordonnées satisfont aux équations

Considérons d'abord la première égalité,

on peut l'écrire

2»-t-P P f « ■+ Q' âu-t-P," Pi'« + 0;' les accents désignant des dérivées par rapport à v. En chassant les dénominateurs, on a

2u*<P[ - P') + Kp(Qt'— ff) -+- PPJ - P,P'J -+- PQl - P,Q' = ou, en remplaçant u par sa valeur — -^ — i