Q, - Q)*(P,'-P') -(Q, - Q)(P, - P)[2(Q{ - Q') + PP| - P, P

+ (PQi' — PiQ'KPi — P) a = 0. (3)

D'autre part, on a

R{v,v>)= (Q,Q)'(P 1 P)(PQ 1 -QP i )=0, R;(», v) = 2(Q,Q)(Q;Q')(P 1 F)(PQ i — QP,)

- (p, - p)(pq; + q,? - qp; - p,q') = o.

Multiplions R£(», te) par P,— P, et ajoutons au produit le premier membre de la relation (3), que nous désignerons par H ; on obtient H-H(Pi — P)R,'(t» t w) = 2(Q 1 -Q)»(P,'-P')

-(P,'— P')(PQ,-QP,)CP I — P)-(Qi-Q)(Pi — P)(PP|-P,P')

-(p,-p) 3 (p'q,-qp;)-

Les deux derniers termes du second membre peuvent se

TAXGEXTES C0M3IUSES A DEUX CONIQUES 18 1

transformer aisément en l'expression suivante :

-(P 1 -P)(P 1 '-P')(PQ ] -QP 1 ), do telle sorte que

= 2{P| - P')[(Q, - Q)* - (P, - P)(PQ, - QP,)] ou

H + (P. — P)Ri(v, w) = 2(P; — P')R(u, w).

On voit donc que si R(», w) et R„'0, w) sont nuls, il en est de même de H, et par suite la relation (3) est vérifiée. On établira de même la relation

en remarquant que la racine double du résultant annule aussi BU», w).

Dans ce cas, les deux coniques sont tangentes et admettent deux tangen tes communes réelles ou imaginaires.

2° Si la racine double annule P, — P, à cette racine correspondent deux valeurs de u données par l'une des équations (1) ; on auradonedeux tangentes communes se coupant sur l'axe des y, ces deux tangentes pouvant être réelles ou imaginaires conjuguées. Dans ce cas, les deux coniques admettent quatre tangentes communes distinctes réelles ou imaginaires.

11 peut arriver que les deux valeurs de w soient égales ; on a alors

ce qui montre que le point de contact de la tangente unique

correspondante est sur l'axe des y ; par conséquent les deux coniques sont tangentes.