Droite passant par deux points. — Soient

les équations des deux points donnés : les coordonnées de la droite qui joint ces deux points s'obtiendront en résolvant les

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deux équations par rapport à u, v, w; on obtient ainsi u = \{bc'—cb'), v = /.{ca—ac'), to = \{ab' — ba'),

en supposant que les équations soient distinctes, c'est-à-dire

représentent deux points différents, Quelle que soit ta valeur de X, ces solutions ne définissent

qu'une seule droite.

16. Condition pour que trois points soient en ligne droite. — Soient

au -h bv + cw = 0,

a'u-i-6Fv+tfa = 0,

les équations des Irois poinls donnés; pour que ces points soient en ligne droite, il faut qu'il existe un système de valeurs de w, v, w non toutes nulles satisfaisant aux trois équations précédentes ; la condition cherchée est donc

17. Équation générale îles points situés sur une droite. — Supposons que la droite soit dé unie par deux de ses points A et A', ayant respectivement pour équations P = au +bv +cw = 0,

1"= fl'd + i'in-c'iii = 0.

Nous allons démontrer que l'équation générale des poinls situés sur cette droite est

aP + ^P'= 0, (5)

À et [i désignant des nombres quelconques.

Remarquons en premier lieu que quels que soient À et ij, l'équation (S) représente un point situé sur la droite AA'. En effet, les coordonnées de celle droite annulant P et P', annulent XP + fiP', et par suite vérifient l'équation (S),

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En second lieu, il faut établir qu'on peut disposer de X et de y. en sorte que l'équation représente un point arbitrairement choisi sur la droite AA'.

Soit M un point quelconque de cette droite ; menons par le point M une droite ayant pour coordonnées u„ v,, u\, et déterminons À cl n en sorte que l'équation (S) soit satisfaite par ces coordonnées; on aura

xPi+nP,' = o,

P, et P, désignant respectivement ce que deviennent P et P'

quand on y remplace u, », te par »,, »,, «',. On déduit de cette

relation

>, = Pf, ll =—p u

et en transportant dans l'équation ^3), on a

Pi'P— P,P' = 0,

équation qui représente un point situé sur la droite AA' et sur

la droite «,, v„ w,. Ce point est donc le point M, etlapropo-

sition est établie.

18. A l'aide des considérai ion- qui précèdent, on peut obtenir d'une autre manière la condition pour que trois points soient en ligne droite.

Désignons par

P — au -f- I/o -+- civ — 0,

P" = a'u -+- b"o -+■ c"iv =

les équations des trois points A, A', A",

Si le point A" est sur la droite AA', son équation peut

s'écrire

).P-huP' = 0;

cette équation représentant le même point que l'équation P" = 0, leurs coeflicients devront être proportionnels et on

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14 COORDONNÉES TANOENTIEf.l.ES. IIL'OMLITRIE PLANE

Réciproquement, s'il existe trois nombres X, jj., >j tels que celte identité ait lieu, les trois points A, A', A" sont en ligne droite. On tire en effet de cette identité

— vF= XPH-jtP', ce qui prouve que le point A" est sur la droite A.V.

On peut donc dire que la condition nécessaire et su fftsanle pour que les trois points soient en ligne droite, est qu'il existe trois nombres À, ;a, -. différents de zéro en sorte qu'on ait l'identité Xl J -i-, u P'-MP" = 0.

En développant cette identité, c'est-à-dire en écrivant que les coefficients de u, v, tu sont nuls, on a la + tf -+ . la " = 0, Xé-Hfiô' + vi' = 0, Xc+;«' + ^" = !

d'où l'on déduit qui! le déterminant considéré au numéro lli est nul.

19. Exercice. — On donne deu® droites, trois points A, A', A™ sur l'une de ces droites et trois points 13, 15', B* sur l'autre. Les droites A'B" et A"B' se coupent au point C, A"B et AD" au point C, Alt' et A'I! au point C". Démontrer que tes points C, C, C" sont rn liijne droite.

Prenons la droite AA'A" pour axe des a> et la droite BB'B" pour axe des y; désignons par c, a, o" eL b, b', b" les abscisses et ordonnées de eus six points.

La droite A'B'' a pour coordonnées

pour coordonnées donc s'écrire (10)

' F cu -1 ' ;lL ' " et — 1, L'équation du point C peut

en développant,

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On a de même pour les équations des points G' et C,

Ajoutons membre a membre ces trois équations ; on voit que P + P' + P* = 0, donc les trois points sont en ligne droite.