Sijjne du premiev membre île l'équation d'un point. — Le

premier membre au + 60 +cw de l'équation d'un point s'annule pour les coordonnées d'une droite qui passe par ce point, mais il prend une valeur différente de zéro quand on y remplace u, v, w par les coordonnées d'une droite ne passant pas par le point. Nous nous proposons d'étudier le signe de cette valeur quand la droite se déplace dans le plan.

Une droite étant tracée, ses coordonnées ne sont déterminées; qu'à un facteur prés, de sorle quête signe de au~\- bv-\-ac ne dépend pas de la position de la droite dans le plan, puisiju'en multipliant les coordonnées par un nombre convenable, l'expression considérée peut prendre le signe que l'on veut, la droite restant la même. En conséquence, pour qu'à une position de la droite on puisse faire correspondre sans ambiguïté un signe déterminé pour au~\-bv-\-cw, il est nécessaire de fixer à l'avance le signe d'une des coordonnées

Menons par le point considéré A (supposé à distance finie) une parallèle à Oy, et soient A;/, la portion de cette parallèle dirigée vers les y positifs et \y[ la portion dirigée vers les y négatifs.

Soit maintenant une droite quelconque i ayant pour coordonnées u, v, v; elle rencontre la droite y,y\ en un point B qui a pour ordonnée

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16 COORDONNÉES TASGEXTIELLIÏK. GÉOMÉTRIE FLANE

prenons la différence des ordonnées des points B et A ; on ; b au-hcir h au -+- bv -h cw

Dès lors, suivant que l'ordonnée do point B esi supérieure ouinférieurc ùcelle du point A, le produit (au-r- bv-hcw)cv sera négatif ou positif.

On est donc conduit à la conclusion suivante :

En supposant v^O, l'expression au -+- bv + cw a même signe que cv si la droite («, v, w) remontre la parallèle à Ou menée par le point A en un point situé sur la demi-droite Ayî ; cetie expression a le signe de —eu si la droite (u, v, w) rencontre la pamllikstn' la demi-droite Aï/,.

Dans le cas où v = 0, c'est-à-dire oïl la droite est parallèle à 0>/, on mènera par le point A une parallèle à Ox et on aura des conclusions analogues.

21. Itisseclrlces d'un angle. — Soient deux droites, A, f«i,t>,, M'i) et ûî (w», w s , w-,). Les équations des bissectrices des angles formés par ces droites sont [u,x-r-v,y -t- !(•,) sin (u,x-+-v s u-h "'i> sin <l

v ' ( q -!-'-■; --«i 1 -"! eiïs'i \ ! <i.j — ui — ±t-V: eus 'i l'oson?

= v/«3-t-u; — 2((,u, eus , pj — \/u| — u|: — iu-.v-, ces ô;

voit que les coordonnées de ces deux droites seront

En donnant à ; le signe de u,Uï + »ii>s — (uif) -I- w.t'i) cos 0, on aura la bissectrice de l'angle aigu (12) ; à l'autre valeur de t correspondra la bissectrice de l'angle obtus,

22. Bissectrices des angles d'un triangle. — Soit le triangle ABC ; désignons par

P, =a 1 s-n> iS + w i = 0, 1>, = u i »-Hi> 3 t/4-Ws = !

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les équations des côtés BC, CA et AB.

Les bissectrices des angles formés par les droites AB et AG ont pour coordonnées

en adoptant les mûmes notations que dans le numéro précédfnl.

11 nous faut maintenant déterminer la valeur do t qui correspond à la bissectrice de l'angle A du triangle.

Pour cela, menons par le point A une parallèle AD au côté BG; les coordonnées de cette droite seront de la forme Xh 3 + |jui 3 , àu 2 + ;j,wj, hi'i -t- i-Wa, avec la condition

On peut prendre

X = U&, — u,e 3 , ij. = uiiî s — u s vi.

Or la bissectrice de l'angle A du triangle et la droite AD soni dans des angles différents par rapport aux droites AB et AC. En vertu d'une remarque faite à la fin du numéro 12, celte bissectrice s'obtiendra en donnant à ;, dans les expressions qui précèdent, le signe de . c "est-à-dire de

On aura de même les bissectrices des autres angles du triangle.

On peut établir sans peine que ces trois bissectrices concourent en un même point.

Les équations de ces bissectrices peuvent s'écrire

P 2 Pa „

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1S roofUiO\MJi:s t.ixijen i [i:i.r.i:s. — réométrie plane

î, -J et ;" étant égaux à ± 1 et ayant respectivement 1 signe de

de telle sorte que

Multiplions respectivement ics équations des bissectrices par 1, — ;, ;;' et ajoutons, on a une identité ; donc les trois droites passent par un même point,

23. Kqiiaiion di? l'ensemble de deux points. — Si le premier membre d'une équation homogène de degré n par rapport à m, v, w se décompose en un produit de n facteurs linéaires, l'équation représente n points dont les équations s'obtiennent en égalant à zéro les facteurs linéaires.

Par exemple, si l'équation ne renferme que u et ir, lo premier membre sera dévoloppable en un produit de facteurs binômes tels que ua -\- wc, et par suite l'équation représentera un certain nombre de points situés sur Oa\

De même toute équation qui ne renferme que v et w représente un ensemble de points situés sur Qy.

Nous allons considérer une équation du deuxième degré,

et supposer que le premier membre est décomposablc en un produit de deux facteurs, c'est-à-dire que I a b" V I

| b' b a" \ On a alors une identité de la forme

l'équation représente les doux points qui ont respectivement pour coordonnées homogènes y., fi, -• et %', 'fi', "'■

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On déduit do cette identité

2*= ?-;' + -/?'- 26' = -fa' ■+ %■{', 26' = »p' H- p*'. S ^

Si a" 5e 0, les deux points sont à distance finie.

24. Si tous les mineurs du discriminant A ne sont pas nuls, /"(«, u, -w) est décomposable en un produit de deux fae- Ictirs distincts,

f(u, v, w)==P.Q, en posant

P = ,„ 4- v p -+- wi , Q = uJ + v? -h »-,'■

En prenant les dérivées partielles, on a

fi= ïQ + a'P,

/ï = fQ + p-P,

ce qui montre que les trois équations

ont un seul système de solutions ; ce sont les coordonnées de la droite qui passe par les points P et Q,

Si au contraire tous les mineurs de A sont nuls, f[u, v, w) est carré parfait, l'équation ((i; représente un point double, les dérivées partielles fi, f', f,{. sont proportionnelles , et en les égalant à zéro, on a un système d'équations vérifiées par une droite quelconque passant par le point double.

25. Dans ce qui suivra, nous désignerons selon l'usage par A, A', A", B, B', B" les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement de a; on aura alors

A =a'a"— 6', B = b'b" — ab,

A' = an — //*, B' = b"b — a'b',

A" = aa! — l/\ B" = hb' — a'b".

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20 COORDONNÉES T AN <i EN Tl ELLES. GÉOMÉTRIE PLANE

On sait que l'on a également les formules

A'A"~B 2 = aA,