Troisième cas. — L'équation (2) a deux racines doubles

A chaque racine double correspond : ou bien une tangente double touchant les deux coniques au même point, ou bien deux tangentes se coupant sur l'axe Oy.

Les deux coniques pourront donc être : ou bien bitaugentes. les tangentes aux points de contact constituant deux tangentes

Hosted by

communes doubles, ou simplement tangentes et admeitre deux tangentes simples, ou enlîn pourront avoir quatre tangentes communes distinctes se coupant deux à deux sur Oy.

Si les deux racines doubles sont imaginaires conjuguées, les deux coniques seront bilangentes, les points de contact étant imaginaires.

169. Quatrième cas. — L'équation (2) a une racine triple et une racine simple.

Ces deux racines sont toujours réelles. A la racine simple correspond une tangente commune ; quant à la racine triple, deux cas sont a distinguer.

1° Si cette racine n'annule pas P, — P, à cette racine ne correspond qu'une tangente, on dit que c'est une tangente triple, les deux coniques sont tangentes comme dans le cas précédent ; seulement la tangente commune est la réunion de trois langentes. On dit que les deux coniques ont un contact du deuxième ordre, et nous verrons plus tard que les courbes se traversent.

2" Si la racine triple annule P, — P, à cette racine correspondent deux valeurs de u et par suite deux tangentes ; Tune d'elles doit compter pour deux, et par suite les deux coniques seront tangentes au même point à l'une de ces droites, comme on peut d'ailleurs le démontrer analytiquement de la manière suivante.

Égalons à zéro la dérivée seconde de RÇu, w) par rapport à, w; on obtient, en remarquant que pour la racine Iriple on a

(Qi - Q') 2 - (P', — P')(PQi - QP./ = o. (4;

Or pour que le point de contact soit le même, on doit avoir 2«H-P P'u + Q' 2u + p, p; w -h q; ' et comme P = Pj, cette condition s'écrit

Hosted by