DEL"X CONIQUES

Tout revient a démontrer que cette quantité est racine de l'équation

u s + Pu-)-Q=0, c'est-à-dire que l'on a

(01 -QT- PCQ'i - Q')(P; - P'j -+- Q(P' f - p? = 0;

ce n'est pas autre chose que la relation [41, où l'on remplace Pi par P et Qi par Q.

Cela nous montre en môme temps que les deux valeurs de u sont toujours réelles.

Enfin il peut arriver que ces deux valeurs de u soient égales ; dans ce cas les deux coniques ont un contact du deuxième ordre.

170. Cinquième cas. — L'équation (2) a -une racine quadruple. 1° Si cette racine n'annule pas Pi — P, les deux coniques

admettent une tangente commune, dite tangente quadruple, ou réunion de quatre tangentes communes ; cette tangente touche les deux coniques au même point. On dit que les deux courbes ont en ce point un contact du troisième ordre.

2° Si cette racine annule Pj — P, à cette racine correspondent deux valeurs de u ; on a par suite deux tangentes communes, ef Usera aisé de vérilierque l'une de ces tangentes touchera les deux coniques au même point et que le contact sera du second ordre, ou bien que les deux coniques seront bitangentes.

Si les deux valeurs de « sont égaies, il y aura contact du troisième ordre.

171. Il résulte de celle discussion que deux coniques ont toujours quatre tangentes communes réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues.

Si deux tangentes sont, confondues, il y a contact ordinaire; si trois tangentes sonl confondues, il y a contact du deuxième

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ordre ; enlin si lus quatre tangentes sont confondues, le contact est du troisième ordre.

Il est elair que l'une de ces tangentes communes peut avoir son point de contact à l'infini, c'est-à-dire être asymptote ; îl peut aussi arriver que la droite de l'infini soit tangente commune, ce qui a lieu dans le cas de deux paraboles.

Enfin à une tangente imaginaire correspond toujours une tangente imaginaire conjuguée.

172. 11 ne sera pas sans intérêt d'étudier maintenant les différents ordres de contact au point de vue géométrique.

Considérons d'abord deux coniques tangentes, le point de contact étant à distance finie ; nous prendrons ce point peur origine et la tangente commune pour axe des a,-.

Pour que l'équation

au* -+- a'v 1 + a"i« 2 -+- 2bvv> + 26'icm -H 2b"uv = nuiivsenli' une omique tangente à Oz, il faut que a' = ; en outre l'équation du point de contact étant

i f,. — b"u -+- bw = 0, pour que ce point de contact soit à l'origine, it faut que b" = 0. On voit alors que a ne peut être nul.

Nous pourrons donc érrire le- équations îles deux coniques

t; ! + Zb'um H- Zbmo -h a"io s = , «a + 2b[uw + 2b,vw + a'iw 1 = .

En éliminant u, on obtient l'équation [2(6i-&)r + (aï-a>]' W '

— 4(fti — t/)[2(b'b, — bbi)v + (b'ai — a"b[)w]w i = 0; elle admet la racine double w = 0.

Pour que le contact soit du second ordre, il faut que io = soit racine triple ; on doit avoir b — b, — 0.

Enfin pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que io = soit racine quadruple, ce qui exige

b — b, = 0, (b', — b')[b'b t — bb[) = ,

ce qui donne

b — b t =0 et b' — b't = 0.

Nous allons étudier maintenant la position des deux courbes aux de l'origine.

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TANGENTES COMMUNES A JJEL'X COMQL'ES 191

Noua opérerons comme nous l'avons vu aux numéros 59 et suivants.

Nous poserons v = — I etnous développerons n en série ordonnée suivant les puissances croissantes de <<■. Pour le l'aire aisément. nous pouvons résoudre l'équation de la tonique par rapport à u ; on a

et par suite, en développant en série le coefficient de V '^ha-.,

; désignant zh 1 .

On aura de même pour la deuxième conique

Dans l'équation (3) on ne peut donner à î» que des valeurs du signe de S, et dans l'équation (6) 10 ne peut être que du signe de &,. PnLMJKii cas. b=£b,. Contact iJti premier ordre. Tout d'abord si b et 6j sont de signes contraires, tu reçoit des valeurs de .signes contraires dans les relations (5) et (6) ; il en résulte que les deux courbes sont situées de pari et d'autre de [)x.

Supposons maintenant b et b v de même signe, et positifs pour fixer les idées ; w ne pourra rerevoir que des valeurs positives ; chacune des équations (5) et (6) détermine pour w deux valeurs infiniment petites de signes contraires ; nous comparerons les valeurs positives et les valeurs négatives.

En retranchant les équations (S) et

u — u, — z<fix>[4ïb — v^] + (6| — 6')«

le premier membre a le signe de \ s i±b — ^ib;)i. Supposons b > &i et prenons ; = -+- 1 ; u

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linsi que les deux e traversent pas.

En retranchant les équatio Supposons b > ; w> rec

(ELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE

tif ; au contraire pour s — — 1 , m — !fi change do signe et devit'nl. négatif; ce qui montre que « est toujours supérieur à *e t en valeur absolue.

On voit ; courbes ne ;

Deuxième cas. b=b t . b'^tb;.

Contact du ."«ao-nd ordre.

(5) et (6) on obtient

ra des valeurs positives; on voit que u — u t aura un signe constant, celai de b\ — b'. Supposons encore b[ — l>'> 0.

Si t est positif, t» et «j sont positifs et l'on a «>!<,; si s est négatif, wetwi seront négatifs, mais u sera plus petit que « t en valeur absolue. On voit ainsi que les courbes se traversent et sont toujours d'un même côlé de O.r.

TnoisiÉME c.is. b = b On a celte fois

Conta

>rdre.

u — u, change do signe avec e ; donc en supposant b > 0, u esl toujours supérieur à k, en valeur absolue ; les deux courbes ne se traversent pas et sont toujours d'un même côté de 0#.

173. Supposons maintenant que le point de contact soit à l'infini, c'est-à-dire que les deux- coniques aient une asymptote commune; si nous la prenons pour ave 0», les équations des coniques s'écri-

En éliminant u on obtient — 4[[&î — b")v + (b[ — 6>][{«Î6"

hf«y- n"6i )"•]«■- =0.

Cette équation admet la racine double w = 0.

Pour que le contact soit du deuxième ordre, il faut que le coeffi-

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