TANGENTES COMMUNES A DEUX CONIQUES

tient de P a w s soi! nul, ce qui donne la condition - (bï-b")(a" i V — a 'bl) = 0.

Si ii\ — b" — o, à la racine 10 — correspondent deux valeurs de u inégales, et par conséquent il n'y a pas contact du second ordre.

On doit dune avoir

On voit en cfl'ct aisément que a et <•'[ ne peuvent être nuls. Pour que le conlacL soit du troisième ordre, il faut que le coeflicient de ew'-eoit nul, ce qui donne

et, comme plus haut,

Nous allons poser encore v = — I, et développer en série par rapport aux puissances croissantes de m. Nous n'auron qu'une seule valeur de u infiniment petite en même temps que «

En résolvant l'équation delà conique par rapport à u, il vient

u = b" — b'v> ± Jb'"- — 21 et la valeur de a, inliniment petite a

m remarquant que h" ne peut être nul.

Développons en série le coefiii'ienl de b" ; on obtient

epour la deuxième courbe

Ces développements permettront de déterminer la position de chaque courbe par rapport à l'asymptote, comme on l'a vu au numéro 64,

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194 COOU DONNÉES TAM'iENTIELLES. — UÉ0MÉT1UE f'LANE

Pour avoir la position relative des deux courbes, retranchor équations précédentes; nous avons

\2b" 2b"J ~ r \2&" s 2&TV -:Zjfc~- Contact du premier ordre.

u — Mj a nn signe constant quel

que soit le, Supposons d'abord —

: de signes contraires, par ex-

emple -pr > toujours positif et m, toujours négatif.

Il en résulte que w, ^ et la différ

Il est alors facile île construire la courbe

Supposons

maintenant

F ol Si ,ie

même signe,

positifs par c>

:emple, et de

b" Ij]

u — ; «i sont

positifs.

-i- =£ -j- Contact dit di

rdre.

(In voit alors que dans la différence u — u,, le coefficient de io 3 est nul, mais celui de w 3 est différent de zéro.

w et «i sont de même signe, supposons-les positifs ; quant à la différence

Ile change désigne avec te, ce qui permet de construire la

l'i.iurlie.

Le produit des carrés des longuei signe près, (136), A S '" ■

Si l'équation de la conique est

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mtact du deua

vrdre sur

construits s m

•ta

Contact du t

me ordre.

TANCENTES COMMIMES A DEUX CONIQUES 19.')

11 en résulte que si deux hyperboles ont mu: asymptote commune et un contact du deuxième ordre, le produit des longueurs L'éoinétriques dos axes est le même pour les deux courbes, et la réciproque est vraie.

On petit donc énoncer le théorème suivant ;

La condition nécessaire et suffisante pour qui; deux hi/perboles qui

cette asymptote est que les rectangles

même aire dans les deux courbas.

u — î'i est in li ni [lient petit du quatrième ordre et a un signe conslant quel que soit m ; de plus « et », ont le munie signe, on a donc

lîi même l'orme de courbe que dans In seconde hypothèse du premier

Mais on peut remarquer que les deux coniques ont même centre, et que les rectangles construits sur les axes ont même aire.

(In a donc le théorème suivant :

La condition nécessaire, et suffisante pour qa.e deux li.yperholes qui ont une asymptote, commune- aient un contact, ilu troisième ordre est qu'elles aient menu- centre, et que tes rect".nijtes construits sur les axes dans les deux, courbes aient même aire.

174. Pour terminer celte discussion, nous allons considérer deux coniques tangentes à la droite de l'infini au même point, c'est-àdire deux paraboles ayant leurs a\es parallèles, et nous chercherons la condition pour que ces courbes aient à l'infini un contact du deuxième ou troisième ordre.

Nous prendrons l'axe des a; parallèle à la direction commune des axes, et comme cette direction a pour paramètres directeurs b' et b,

Les équations des deu\ paraboles peuvent alors s'écrire u a -+- Wttv + aô'wto + «V = 0, f(a + 2&;«D-t-2&iuw -i-tt',»» — 0.

En éliminant m on obtient [ a \— a y^-i[^-by+{b\-b')w][{a[b°-a%)v-{-{a , ,b , -a , b' l }iD}^=Q. Cette équation admet deux fois la racine v = ; à cette racine correspond la valeur u = 0, ce qui donne comme tangente double la droite de l'infini.

Pour que le contact -oit du deuxième ordre, il faut que le coefficient de te 2 » 3 soit nul, c'est-à-dire qu'on ait (&; — b'){a\b' — a'b\) = 0;

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191} COOUDONNÉES TANGEN VIELLES. GÉOMÉTRIE PLANK

b\ — b' ne peul èfre nul, sans quoi à la racine a — correspondraient deux valeurs de u différentes.

On devra doue avoir

Pour que le contact soit du troisième ordre, il faudra que le coefficient de wv' J soit nul, ce qui donne

On pourrait également étudier la posilion relative des branches infinies en faisant w= — \, et en développant u en série ordonnée par rapport aux puissances de v.

On a ^^

u = — {b"v — V) ± t /b"---;b'lZv + lt>-> — a')v*.

Si m désigne le coefficient angulaire de la droite va + vjr—l ~0, )n a m = '-> et le développement précédent peut s

s est l'inverse de ['ordonnée y l'origine.

On aura de même peur la deuxième parabole

et en faisant la différence,

Considérons la formule (7) ; elle nous permet de déterminer 1 position des brandies infinies (Je la première courbe.

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