CHAPITRE XI
CONIQUES INSCRITES DANS LE QUADRILATERE DES TANGENTES COMMUNES A DEUX CONIQUES
175. Théorème. — // existe une seule conique, tangente à cinq droites dont quatre ne tunt pas concourantes.
Désignons par m,, v,, w : . (i = 1, 2, 3, A, 3) les coordonnées des cinq droites.
L'équation d'une conique tangente à ces cinq droites sera
au* -+- aV -+- a"w* -+- Uvw -+- Zb'wu -t- îb"uv = 0.
et pour déterminer les coefficients, nous aurons les relations suivantes, obtenues en écrivant que l'équation est vérifiée par les coordonnées des cinq droites :
au\ -i- a'»f -h a"w\ -
um,
- IbViWi + 2i'Mi a w.
UjUj
-ilie-.W:
2éo t w,
-hSb'w^U
+ Ww : u.
a.ul->-a'v}.-'-a"w? -
Nous avons là cinq équations linéaires et homogènes à six inconnues, a, a', a", 6, b', b".
Supposons que l'un des déterminants à cinq lignes et cinq colonnes formés avec les coefficients des équations soit difi'é-
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200 COORDONNÉES TANGEJJTIEM.ES. — ■GÉOMÉTRIE PLAKE
rent de zéro, par exemple
On peut alors résoudre les équations par rapport aux cinq premières inconnues en fonction de la sixième ; on aura des expressions de la l'orme
a, a', ... fi' (Haut fondions des quantités k,-, v it tt\. L'équation de la conique pourra alors s'écrire
**(««' -+- aV -1- iV -+• %$vîv -+■ %$'wu -+- 2uu) — 0, et, quel que soit b\ celle équation représente une seule conique. Le théorème est ainsi démontré dans cette hypothèse. L'équation de cette conique peul se mettre sous forme de déterminant :
•i} v 2 w* vw wu uv
U% «J tv\ ViW, WiUy U,!),
'4 v>\ w\ v,w 2 «!,«] WjUj ■4 «' tu- v 3 w a i« 3 u s u 3 u a
Supposons maintenant que tous les déterminants h cinq lignes et cinq colonnes qu'on peut déduire du tableau des coefficients soient nuis, et qu'un déterminant à quatre lignes et à quatre colonnes soit durèrent de zéro, par exemple
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On pourra alors résoudre les quatre premières équations par rapport â a, a', a" et b, en fonction de b' et de b", d'après la règle do Cramer, ce qui donnera des expressions de la
ï, a,, ... j3j étant fonctions des quantités données «,-, «,■, w,-.
Ces valeurs, transportées dans la cinquième équation, la véi'i fieront, quels que soient // et b".
Les expressions précédentes consf.il lieront donc la solution générale des équations données; en transportant ces valeurs dans l'équation de la conique, on obtient 6'(aw2 -[- a'u s -|- »V -|- 2pu;o + c ivni)
+ &»(.,«■ + «y + »; w »- l -sp i tto + ïu») = 0, et cette équation, où b' et b" sont arbitraires, représente une inlinité de coniques.
Je vais démontrer que dans ce cas, sur les cinq droites données, quatre sont concourantes.
Il résulte des hypothèses que toutes les solutions dos quatre premières équations (1) vérifient la cinquième; autrement dit, que toutes les coniques tangentes aux quatre premières droites sont tangentes à la cinquième. Supposons que ces quatre premières droites forment un quadrilatère ABCi), et considérons la conique formée par les points A et C; cette conique est tangente aux quatre premières droites; la cinquième droite devant être tangente à cotte conique devra passer par l'un des points A ou C, parle point A par exemple; on verrait de même que cotte cinquième droite doit passer par l'un dos points B ou D, par le point B par exemple; cette droite devrait donc coïncider avec la droite AB, ce qui est impossible parce que nous supposons les cinq droites données distinctes; il faut donc que le point B coïncide avec le point A, c'est-à-dire que la droite (2) passe par l'intersection de (1) et dn {4) et
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alors la droite (,'ij passera par ce même point, et lions voyons que quatre lies droites données seront concourantes.
176. Si sur les cinq droites, trois ne sont pas concourantes, la conique tangcnle à ces cinq droites est une véritable conique qui ne peut se réduire à deux points.
Si trois des droites sont concourantes, la conique tangente aux cinq droiles se compose de deux points, dont l'un est le point de rencontre dos trois droites, et l'autre le point d'intersection des deux autres droites,
Entin si quatre des droites données sont concourantes, ce point do rencontre et un point quelconque de la cinquième droite forment une conique tangente aux cinq droiles.
Nous verrons plus loin une démonstration analytique de ces résultats (233).
177. Théorème. — Il existe nue seule conique tangente à quatre droites, le point de contact sur l'une d'elles étant donné.
Prenons le point de contact donné pour origine et la tangente correspondante pour axe dos x; l'équation de la conique peut s'écrire
<iu 2 ■+- aV + îbvw ■+■ ttfwu = 0.
Soient
iW + ïiy+1 =0 (i = i, % 3)
les équations des trois autres tangentes qu'on suppose ne pas passer par l'origine. On aura les équations
2#w, -+- 2ÔWi -t- a" -+- au\ = 0,
2è'w s -+- 2bv t -+- a" -+- aw| — 0,
2i'ii:i+ 2bv,-h a" -+- au* = 0.
Si l'on suppose les trois droites non concourantes, le déterminant
Ms
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est différent de zéro; on peut résoudre les équations par rapport à b\ b cl a" en fonction île a, et on obtient une seule conique répondant à la question,
178. Théorème. — // existe une seule conique tangente à trois limiter:, les points de contact de deux d'entre elles étant donnés.
Prenons ces deux dernière? tangentes pour axes, ei désignons par i cl S l'abscisse et l'ordonnée des points de corilaet.
L'équation générale des conique? tangentes à ces droites aux points donnés est (131)
ap«y+ aww-H pEW-t- Xhj* = 0.
En écrivant que cette conique est tangente à une autre droite, on détermine une seule valeur pour X.
179. Théorème. — Il existe une seule conique ayant avec une conique donnée en un point donné un contact du deuxième ordre, et tangente à deux droites.
Prenons lo point de contact pour origine et la tangente pour axe dos x.
u' 1 -+- a'w 3 -+- *2bvw 4- Wwu =
a conique donnée.
La conique cherchée aura pour équation
w s + a"w s ■+- SÔijjmj -+- 2ô',ww = 0, et pour que le contact soit du deuxième ordre, on doit avoir è, = b (172).
En outre, les coefficients a\ et b\ seront déterminés en écrivant que la conique est tangente à deux autres droites. On démontrera de la même manière le théorème suivant
180. Théorème. — // existe une seule conique ayant avec une conique donnée en un point donné un contact du troisième ordre, et tangente à une autre droite.
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20i COORDONNEES TÀNGENTIELLE5. GÉOMÉTRIE PLANE
181. Tons ces tttéoivmes subsistent quels que soient les tangentes et les points do contact, à distance finie ou infinie.
Ainsi, il existe une seule parabole tangente à quatre droites, une seule hyperbole asymptote à deux droites et tangente à une troisième droite ; une seule parabole tangente à trois droites, la direction de l'axe étant donnée, etc.
182. Equation générale des coniques inscrite* dans le quadrilatère circonscrit à deux coniques.
Soient deux coniques ayant pour équations fin, v, w) = au s 4-aVH-a*w a + 26tiM> + 26'îom-26*«u = 0, f t (u, v, w) = a l u'- r -a' 1 v*-+-a" i iv* + '2b,vw-i-'2b' i wu-i-%bïuv = 0;
supposons qu'elles admettent quatre tangentes communes distinctes; je dis que l' équation générale des coniques tangentes à ces quatre droites est
En effet, quel que soit ,u, cette équation est vérifiée parles coordonnées des quatre tangentes communes, puisque ces coordonnées annulent f{u, u, w) et f,(u, v, w).
Tout revient à démontrer qu'on peut déterminer n en sorte que cette équation représente une conique (C) quelconque iangenle aux quatre droites.
Soient « , u„, w les coordonnées d'une tangente quelconque à la conique (C); écrivons que l'équation (2) est vérifiée par ces nombres ; on a
l'équation (21 devient
elle représente une conique ayant cinq tangentes communes avec îa conique (C) ; elle se confond avec cette conique ; il en résulte qu'on a pu disposer de |i en sorte que l'équa-
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ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE CONIQUES 20o
tion (2) représente la conique (C). Le théorème est démontré 1 ' 1 '.
183. Si les deux coniques données sont tangentes en un point A, l'équation (2) est l'équation générale des coniques tangentes aux deux coniques au point A, et tangentes aussi aux deux autres tangenl.es communes que ces deux coniques admettent.
En effet, quel que soit p, l'équation (2) représente une conique qui remplit ces conditions ; si par exemple w , v„, n\ sont les coordonnées de la tangente au point A, on aura
et
on en déduit sans peine
et
fi+rfl., n+tfi-, f.
ce qui montre que (2) représente une conique tangente au point A aux deux coniques.
Ensuite on peut disposer de \\ en sorte que l'équation (2J représente une conique quelconque (C) satisfaisant aux conditions précédentes. Il suffit comme plus haut de déterminer ,u en sorte que l'équation (2) soit vérifiée par les coordonnées d'une tangente à la conique (C). Cette équation représentera alors une conique tangente à laconique (C), et ayant avec celle-ci trois autres tangentes communes; ces deux coniques coïncident (177).
