Si les deux coniques données sont bi tangentes, l'cqua

;1) L'un se m bit des roniqiivs roiireseutiji.'S i«ir I i[u'on appelle un faisceau btngentiel.

Hosted by

r.oni;|ii-i\\-|-,i : :.-; i'am;

GÉOMÉTRIE PLAN

lion (2) est l'équation générale des coniques bitangentes à ces deux coniques. Pour le prouver, on raisonne comme au

numéro précédent.

185- Si les deux coniques ont un contact du deuxième ordre en un point A, l'équation (2) est l'équation générale des coniques ayant au point A un contact du second ordre avec chacune des coniques données, et tangentes en outre à la tangente commune aux deux coniques.

Prenons le point A pour origine et la tangente en ce point pour axe des x\ les équations des deux coniques s'écrivent (172)

f{u, v, w) = m 3 -+- 26o«i + 'ib'wu -s- a"w % = 0,

/i(w, v, w) = m* -+- $àwv -+- 26£i«u -+- a",w 3 = 0. et l'équation (2) devient u a {l -+- p) -+- 26(1 + v)vw -+- 2(6' -+■ jj-'A) wu ■+■ («"+ K)w' =

cette équation représente, quel que soit n, une conique ayant à l'origine un contact du deuxième ordre avec les deux coniques données.

Cette conique est aussi tangente à la tangente commune aux coniques données,

Le raisonnement s'achève comme dans les cas précédents en s'appuyant sur le théorème du numéro 179.

La démonstration esl. légèrement modifiée si le point A est it l'infini.

186. Si les deux coniques ont un contact du troisième ordre en un point A, l'équation (2) est l'équation générale des coniques ayant au point A un contact du troisième ordre avec les coniques données.

187. TiiéOrém):. — Le lieu des pôles des coniques inscrites dans un quad)

Hosted by

Kijivni

GEXE11ALEB DR COSlfJtES

Considérons deux coniques inscrites dans In quadrilatère, et ayant pour équations tangcntielles

ft*, v, «) = 0, Mu, v, «,) = 0.

I.'éq nation générale des coniques inscrites dans ce quadrilatère sera

Le pôle d'une droite fixe (u , »„, w„) par rapport à l'une de ces coniques aura pour coordonnées

fi t + rtf v ff, + f/ï v ft, + n/ï«, ;

ce point décrit la droite qui a pour équation

Si la droite donnée est à l'infini, nous avons le théorème de Newton (116).

188. Exercice. — ■ Etant donnés un cercla qui a pour centre le point et une parabole \\ on considère toute.*; le:; coniques C inscrite* dans le quadrilatère formé pur les tangente-; communes au cercle et à la parabole P. Trouver V enveloppe des polaires A du point par rapport aux coniques C ; Tcnrelcppe dus tangentes X aux coniques C, telles que 1rs normale* au.r points de contact jiassent par le point (J, et l'enveloppe des axes des coniques C.

{Concours général, ISS!).]

Prenons deux axes rectangulaires passant par le point 0, Ox étant, parallèle à l'axe de la parabole. Les équations taugenlielles du cercle et de la parabole seront respectivement

r-ib'u

L'équation générale des coniques C sera alors f{u, ii, w) - X[R>(«* -4- fl a ) — w'J + a« 2 -+- «V + S&'tou + Wuv = I

Soient m, v, w les coordonnées de la polaire A du point p; rapport à l'une des coniques C. L'équation du pôle est

et pour que ce pôle soit à l'origine, il faut qu'un ait %fl = XR*» ■+- au -+- b"e + b'w = 0,

2UiS COORDONNÉES TANGE.NTIELLKS. i'.ÊOUÉTRIE PLANE

tsn éliminant a, on n l'équation I an senti elle de l'enveloppe,

l [ufi - ./y) = &>* - «■) + (a 1 - h]m - &'«» = 0. [a]

Cette enveloppe est une parabole dont l'axe est parallèle à Oy.

Soient maintenant m, », m les coordonnées d'une tangente T; on aura

en outre la droite qui joint le point au point de contact a pour coefficient angulaire yri pour qu'elle soit perpendiculaire à T, il faut que

<irl-

KliminanL ). entre (p; et (y), on aura l'équation de l'enveloppe. Celte élimination est toute faite, puisque l'équa.lion (y) ne renferme plus \. L'équation ;-<) est donc l'équation de l'enveloppe des droiies T. Or cette équation est la même que l'équation (a), Il en résulte que les droites A et T ont pour enveloppe la même parabole.

Nous n'avons pas utilisé la condition (?) qui exprimait que la droite T était tangente à la conique G. Il résulte de là que l'équation (=0 est l'équation de l'enveloppe des droites a qui sont perpendiculaires aux droites joignant le point (I â leurs pûles.

Les axes des coniques (', jouissi:nt des propriétés des droites a, et par suite sont tangentes à la parabole fa).

En conséquence, les trois séries de droites considérées ont la même enveloppe : c'est la parabole

&>« - v't) + {a 1 — a)u» — Vvw — 0, qui a son axe parallèle i\ Oy ; les langt'iiles menées à cette parabole par le point seul rer.ldiigulaires ; donc la directrice de cette parabole est la droite Oœ.

On vérifiera sons peine que le foyer de cette parabole est sur la droite qui joint le point (I au foyer F de la parabole P, k une distance du point F égale à OF.

Tous ces résultats peuvent se démontrer géométriquement (Voir Nouvelles Annales :ic M<<Ut'':;nat.i'ii<e.s, W série, tome IX, p, 33),

189. Supposons maintenant, que l'une des coniques se compose de deux points P et Q ayant pour équations

P = -ut + pu + -;w = 0.

Hosted by

c'est-à-dire que l'on ai!

/■,(«, v,to) = P.Q; l'équation

/■(«, v, w) + ^PQ - (3)

est l'équation générale des coniques tangentes aux tangcin1.es issues des points P et Q à la conique (C) qui a pour équation

Si le point P est situé sur la conique, les tangentes issues de ce point sont confondues ; l'équation (3) est alors l'équation générale des coniques tangentes à la conique donnée au point P et tangentes aussi aux tangentes issues du point Q à cette mémo conique.

On peut d'ailleurs vérifier analytiquement ce résultat en prenant le point P à l'origine, la tangente en ce point à la conique étant l'axe des x.

L'équation de cette conique sera

au* -+- a"w a + 2bvw -\- 2b' wu — 0, et l'équation (3} s'écrit

au 2 -+■ a."w" + %bvm + 26'mih 4- f«f (<*'» + P' y + ï'" ; ) = ° ! elle représente bien une conique tangente à l'origine à l'axe des a;.

190. Exercice. — On donne v.w eltipae ]■] ut unpomt P situa dans son plan. Trouver le lien du point M tel que les tangentes menée!' dit point P et du point M à l'ellipse F. forment un quadrilatère circonscriptible à un cercle.

Soient a-a 1 h- bH- — io s —

l'équation tangenlielle de 1'dlips.e E, a, [ï les coordonne: es du point P et a>, y les coordonnées d'un point M du lieu. L'équation générale des coniques litncjontes aux tanpentes issues des poinfs P et M à l'ellipse est

\[a*u? + bV — m') ■+■ {us 4- ep + w){wti + vy + 10) = 0.

Écrivons que l'équation représente un cercle; on a (101]

Hosted by

ai n

'RDOXNÉES TÀSGLNTIELLES. — - GÉOMÉTRIE