PLANE

,,-fe^

= (» , + py)(l-X)-

{«-t-.HP + lO „

Éliminant î. entre ces deux équations, ou aura l'équation du lieu. La première peut s'écrire

XU- x )c * ■+■ (1 - XX» - Py) = f " + *'' ~ ' S + y '' -

De la deuxième on lire

) - fr-«fa-P) , S(ay + pa;)

et on remplaçant dans la première, on obtient

oV - «»){k« - p s ) = [« V - pi] - p{rf - »*]][«! - rf+yi - p« |.

Cette équation est homogène et du deuxième degré en œ a — a 2

et !/ s — P ! ; elk 1 représente dimx «iniques dont les équations s'écrivent

i/ a — PJ m ■'/' — B j ^^

mi et m, étant les racines de l'équation

On voit aisément que ce sont les deux coniques homofocales à i'ellipse E qui passent par le point P.

191 , Coniques liomo locales. — Si les points P et Q sont

les points cycliques du plan, l'équation (3) est l'équation générale des coniques homofocales à la conique (C) d'après la définition même (les foyers.

Si les axes sont obliques el font l'angle 0, on sait que les points cycliques sont à l'infini dans les directions dont les coefficients angulaires satisfont à l'équation m B + 2m cos 6 + 1 = 0.

Pour qu'une droite uar-t- vy-+-w — passe par l'un de ces points, il faut que son coefficient angulaire - -- satisfasse à. cette équation, c'est-à-dire que l'on ait

„*.+.„> 2uu cosO = 0;

toile est l'équation de l'ensemble des points cycliques.

Il en résulte que l'équation générait! des coniques homofocales à la conique (C) es!

f{u, v, w) + v.[u i --rv i — Zuv cos 8) = 0.

Si les ases de coordonnées sont rectangulaires, cette équation devient

f(u, v,w) + p(u*-hv*) = 0,

Supposons que la conique soit une ellipse rapportée à ses axes, c'est-à-dire que

f{u, v, w) se a-u- + 6 2 t> a — w ! ; l'équation des coniques homoioealos est

a'u 3 -+- bW — w 1 ■+■ fJL(«" + u 3 ) = ou

et l'équation ponctuelle correspondante est résultat connu.

192. On peut considérer des coniques lioniofocales comme inscrites dans un quadrilatère dont doux sommets opposés sont les points cycliques.

Par conséquent le lieu des pôles d'une droite iixe par rapport à des coniques homofocales est une droite (187) qui a pour équation

fi. f; >',

t Ton vérifie aisément que cette droite est perpendiculaire < i droite donnée.

193. Coniques Mlangenles it une conique donnée. — Supposons que dans l'équation (3) du numéro 189 les deux points

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212 COOBDOKKÉES TiXfiESTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE

P et Q soient confondus ; cette équation devient

f{u,v,w) -+-hP» = 0. (4)

Nous allons démontrer que cette équation est l'équation générale des coniques bitangentes à la conique (C), les points de contact étant ceux des tangentes menées par le point P à cette conique.

Tout d'abord on voit que l'équation (4) est satisfaite par les valeurs de u, v, w qui annulent à la fois f[u, v, w) et P, c'est-à-dire par les coordonnées des tangentes menées du point P à cette conique. Je dis de plus que ces tangentes communes ont mêmes points de contact dans ces deux coniques; en effet. posons

o(u,„,w) = fln «,»)+,*•,

P = «m -t- po-H iw ; on aura

?'. = fi H- ifPf,

et si on remplace dans ces identités u, v, w parles coordonnées des tangentes menées par le point P, on a

ce qui montre que ces tangentes touchent les deux coniques aux mêmes points.

On verra ensuite aisément qu'on peut déterminer p, en sorte que l'équation (-1) ceprésenle une conique quelconque bitangente à (C), la corde des contacts étant, la polaire du point P ; on en conclut que (4) est bien l'équation générale cherchée.

194. Considérons maintenant un quadrilatère défini par les équations de ses sommets,

A et C étant opposés ainsi que B et D. On démontrera atsé-

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ÉQUATIONS (lÉSÉKALES DE CONIQUES 21a

ment que- l'équation générale des coniques inscrites dans ce

quadrilatère est

AC-t-jxBD = 0.

Si l'on suppose, comme dans l'exercice du numéro 133, que le

quadrilatère soit un parallélogramme ayant

son centre à l'origine et -jes cotés parallèles

y, aux a\es do coordonnées, les sommets au-

D / A ront pour équations

A = u. + *P + io = 1 C = — ** — »p + w = 0,

B = ui. — v?-hv> = 0, D = — « a +t.a + w = 0;

l'équation générale îles conique* inscrites sera donc

(„=,-,- »j + „)(-„.„ il + «, ) + ,i(«i,p + »X-""+»W-«) = ll

i'i> pci = ruil

a (MI + ,p« + ,, [„i „, „p)p = o,

Cette équation peut être considérée comme l'équation générale des coniques tangentes - dnx tangentes menées à l'ellipse

par les points qui ont pour équations

c'est-à-dire les points à l'infini dans les directions O* et Oy.

195. Si le point B est. sur la droite AC, on démontrera aisément quo l'équation

AC -+- u.BD =

est l'équation générale des coniques tangentes aux droites AD, CD et a la droite AC au point B.

Considérons par exemple un Iriangle rectangle AOB dont nous

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prenons les cotés pour axes de coordonnées ; désignonspar a l'abscisse du point A, par b l'ordonnée du point B, et du point abaissons OC perpendiculaire sur AB.

Cherchons l"t:!]uaïion Lvnûrale des coniques tangentes aux trois côlés du triangle AOB et touchant le côté AB au point C.

Les équations des points (), A, D, C sont respectivement

l'équation ffénéi'.tlo des coniques considérées sera

[ua ■+- w){vb + w) -4- \itc[ab 3 u +- aïbo -f- {a? -\-b*)w) = 0.