Enfin si l'on a trois points
l'équation générale dos fioriifjups tangentes en A et B aux droites CA et CB sera
AB + p.C ? = O.
Si on suppose que le point C soit à l'origine, A sur Ox et B sur Oy, l'équation s'écrit
[m + wK*P + wH-P« , =0 a?uv -H puw + aww + Xio 1 — 0, comme on l'a vu au numéro 131.
197. On peut déduim de là. réquatiou générale des paraboles dont on connaît un diamètre et la tangente à l'extrémité.
Si on désigne par #„, i/ les coordonnées de l'extrémité du diamètre, par a, ? les paramètres directeurs du diamètre et par a', p'
ceux de la tangenle, l'équation générale cherchée est
[«* + •* + »X«' + M) + !*(««' + *?')' = ; on peut en effet considérer la parabole comme tangente à la droite de l'infini, le point de contact étant dan* la direction du diamètre.
Si les directions (a, S) et [a', fs') sont perpendiculaires, le point (#oi V«) est ' e sommet de la courbe.
198. Exercice. — Lieu des foyer.-: des hyperbole* ayant une asymptote donnée et tangentes en un point donné à une droite perpendiculaire à l'asymptote.
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Prenons l'asymptote pour axe des y, la tangente pour axe des x. ci. désignons par '> l'abscisse du point de contact.
Les hyperboles considérées sont tangentes au\ droites Ox et Oy, la corde des contacts étant la parallèle à ()y menée par le point A.
Les équations du point et du point A sont
io = 0, ua + w = 0\
celle du point à l'infini dans la direction On est
nous avons ainsi lus équations des points de contact et du point de rencontre des tan génies ; l'équation générale des hyperboles sera
Les foyers seront déterminés par les équations
En éliminant. ), entre ces deuv équations, on aura l'équation du lieu. On trouve ainsi
xl*?-+-y>)-a(a?-y*) = 0, équation d'une slrophoïde droite.
199. Revenons à l'équation (3) du numéro 1H9 et supposons que le point P soit situé sur la conique (G) ; nous avons vu que cetlc équation est l'équation générale des coniques langentes ii la conique donnée au point P et tangentes aussi aux tangentes issues du point Q à la même conique.
Supposons de plus que le point Q soit sur la tangente au point P à la conique (C) ; dans ce cas l'une des tangentes issues du point Q coïncide avec la tangente en P ; il en résulte alors que l'équation
f(u, „,„■) + ^PQ = est l'équation générale des coniques ayant au point P un contact du deuxième ordre avec la conique donnée, et langentes à la tangente issue du point Q à la même conique.
200. Enfin, si le point Q coïncide avec ie point P, l'équation
fin, v, w) + p.P* = û
210 COORDONNÉES TAXGENTIELLES. - — GÉOMÉTRIE FLANE
est l'équation générale deï coniques ayant au point P un contact du troisième ordre avec la conique (C), en supposant toujours que le point P soit sur la conique.
EXERCICES ET NOTES
1. On donne deux paraboles ayant pour foyer le -point fixe et titîur ares tes deux droite* rectangulaires O.t et \)y. Trouver l'équation de la tangente comaimie à ces deux courbes.
Trouver le lieu décrit par te m, Heu des points ,le contact quand la tangente commune passe par un point fixe.
On a aisément les coordonnées <le l;i tangente commune en résolvant les équations tangentielles
pf *e s -f* t> s ) — 2uw = 0, q[& + f) — *no = des deux courbes. Le lieu demandé a pour équation
Znyi^ + y*) — [ay* — 303^» — 3(KB«y+M = 0, a, P désignant les coordonnées du point fi\e,
2. Lieu des foyers '.tes coniques inscrites dans un quadrilatère
3. D'un point P du plan d'une, ellipse, on mène les quatre normales, et l'on considère le quadrilatère formé, par les tatu/entes uu.r points d'incidence. Sur quelle courbe doit être, situé le point P pour que le. quadrilatère soit crreoiiseriptible. à un cercle'.'
Soit a 3 u s + 6-u 3 — w 2 = l'équation de l'ellipse ; on aura une relation entre les coordonnées ti, v, w d'une tangente en un point d'incidence, en écrivant que la droite qui joint le point l'(tc, y) au
point de contact I — — . - — -1 est perpendiculaire à cette
tangente ; on obtient ainsi
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ÉQUATIONS (--.lÏNÉHALES DE CONIQUES 1\ t
il suffit alors d'écrire que l'équation
n'w 2 -H bH^ — w 2 -+- \{c % uv — uwy + Bioa) :=
représente un cercle; on élimine A et on a l'équation du lieu,
4. Lorsqu'une conique est hitoogenle à une conique donnée et tangente à deux droites, le pôle, de la carde des contacts décrit deux droites formant faisceau har,, ionique avec le.' deux droites données.
5. Lieu des pieds des normales menées d'un point à une parabole de grondeur constante tannen'e à dettr, droite-: recta ngtU'.t ires.
Soit M(», y) un point du lieu; on mène par M une perpendiculaire à MO ; on for nie l'équation taiïgcntielk de la parabole fanante aux deux axes et à la perpendiculaire au point M, et il suffit d'écrire que le paramètre de cette < oiirbe est donné.
On trouve pour équation du lieu
teVO"* -*- P') — ?*(*' — «V + .!/*) 3 = 0-
6. L'équation taneenlielle générale des conique? passant par deux points a, ?, y et a', p', -f est
x, y, s désignant les coordonnées du point de rencontre des tangentes aux deux poinls donnés.
7. Lieu des foyers des parubo/rs tangentes à une d.roi'e et admettant une corde commune parallèle.
Prendre pour axes la tangente cl la perpendiculaire au milieu de lu corde; se donner comme paramètres variables les coordonnées du pôle de la corde.
8. Le lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère est une cubique circulaire pnss'iiit nue son. foyer singulier. Réciproquement, toute cubique circulaire passant par son foyer singulier peut être définie de celle manière.
[G. Humbeut, Nouvelles Annales, 3' série, tome Xll, p. 124Ï.
9. Si une parabole c i hltan/jeittr. ii une hyperbole équilatère, sa
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218 COORDONNÉES TANGEXT1ELLES. — GÉOMÉTRIE PLAXE
directrice est perpendiculaire ou milieu de In droite qui joint le rentre de Vh.ypçrhole nu pôle de. In corde des contacts. En effet, si la parabole a pour équation
.( M a „î) w i + (W -h vy> H- «)■ = 0, sa directrice a pour équation
2aMj' + %yy' — a' 1 — y' 1 = 0.
10. Lorsque des coniques sont inscrites dans un quadrilatère, il existe deux points d'o'u l'on voit 'es coniques sous un angle droit.
Ce théorème résulte immédiatement de ce que l'équation du cercle orthoptique contient linéairement les coefficients de l'équation tan genti elle. Si ces coefficients sont fonctions du premier degré d'un paramètre, les cercles orihopliqu.es passent par deux points
On en conclut que les cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère connue diamètre on! même axe radical,
11. Si quatre coniques sont inscrites dans un quadrilatère, les pôles d'une droite quelconque ont un rapport nn/iar,, tonique constant. (Chasleb, sections coniques.)
12. La somme d>:s '.-iinlcs que font avec un a,xe fixe les tangentes coiiiiiiuiir.i à de'.:.:: courbes nl-r-trriq •'■-.. ne cli'inge pus quand on remplace ces courbes par des courbes iiomofocales.
Soient
fiu,v,w) = 0, v[u,v,w) =
les équations des doux courbes; cherchons la somme V des angles de leurs tangentes communes avec On.
Éliminons w entre les deux équations; on a un résultant R(m, v) — A W» + ?, ai»'-' v -{-■■■ A,„î)"< = 0; en posant = t, on a l'équation aux coefficients angulaires ;
ou en déduit
Al -A s + A,--
Cg V Ao — A. + A* '
ou si l'on pose R(l, i) = M + Ni,
Or pour calculer R(l, i. il suffit d'éliminer m entre les équations
f({, i, w) = et ta(l, i, w) = ; par conséquent V ne change
ÉQUÀTIOXS (ÏÉ>
fÊJtALES DE
i:o.Nioi:j:s
si on remplace
les
équalio
us des deu*
COUrbes r
par
Les
équations
rx
+u i )ri(». v
Ce théorème est dû à M. G. Humbert.
La démonstration qui précède a été donnée par M. E. Ronia. (Kounelles Annales, 3 e série, tome IX, p. 123).
13. Lieu des foyers des [laraheiles l><t:t.n<jeiaes A ><n cercle el passant par im point fiicu,
14. Etant donnée-': les équations tnniienlielles de trois coniques, f=d, f — 0, ty = 0, ayant trois taïu/enies eoinontnes, l'équation générale des coniques tf.noentes à ces trois droites est
*f+r"? +T> = <>■ En déduire Vèqualion ijcnèvnh:. des n.;yu>ji>es tangentes à trois des tangentes communes à de».:?, coniques données.
Soient /"=0, o = les équations langenli elles des deux coniques, et P = 0, Q = les équations de deux point" situés sur une tangente commune T. Les équations des deux coniques pourront s'écrire
/■=AP + BQ = 0,
? = A i P-hB,Q= : 0,
et l'équation
<V = ABi- RA, =
représentera une conique tangente aux tangentes communes aux coniques données, excepté à l;i tangente T.
L'équation générale demandée sera
^l po + - f (AB, — BA,) = 0.
Appliquons cela à la recherche de l'équation générale des coniques tangentes aux trois languies communes à deux paraboles, 11 faut exclure la droite de l'infini. Ou écrira
2èîu) =
(», v, m) — «(anH-
rio + ftft
2*iicj =
etr
équation générale se
-Pî + tH"*+^<' +
+ &ÏM + 26]icj
(«iB+iî
-f- 26ic)
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220 COORDO.WÉES TAKGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE
15. Quand d'au:- angles sont circonscrit:; à une conique, les quatre eûtes et les deux cordes de contact sont tangents à, une même conique.
L'équation de cette conique est
lt«i/'^ + <>i/% + wif« i IA'«.».w)
- Wi t -+- vf[. c + KfyWi, -+- ■/!, + M/U,] - o,
«o. v , W(i et Mi, iîi, v>i désignant les coordonnées des cordas de contact.
16. L'équation i/ënér/t/e des paraboles ayant pouf foyer le point (s, P) est
Â, Li e'iant fes paramètres directeurs de l'axe.
17. Pour qu'il existe une conique passant par- deux points C et D, et tangente aux tangentes i^ues de deux points A et li h une conique S, il faut et il suffit qu'il existe une. conique passant par A et B, et tangente aux tangent.cn issues de C et D à la. conique S.
Si l'on suppose que les points C et D soient les points cycliques, on a l'exercice résolu au numéro 100.
Proposition corrélative. On peut en déduire la propriété suivante :
l'enveio/ipe <les axes radicaux de deux cercles dont l'un est fixe, et l'autre, cariable, reste tangent, à deux droites fixes, se, compose t'es iteu.c paraboles, qui passent par les point i communs au c-'rcle f.xe et 't.ti.x deux droites fixes.
18. Etant données deux coniqu.es /'omofucuJes, trouver le lieu des sommets des angles droits AMA' dont les côtés MA et MA' touchent rcs/iectifemeut les deux courbes
Les deux autres langeâtes Miî et MB' menées de M aux deux coniques se coupent aussi à angle droit.
Les droites qui joignent deux h deux, les points de contact des tangentes MA et MA' ou MO et MIC enveloppent une conique iiomofocale aux proposées.
19. Soient A, B et C, D deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère circonscrit à un cercle : trouver le lieu du, point de rencontre des tangentes communes aux coniques agent pour foyers A et 15 et aux coniqn.es ayant pour foyers C et D.
[Reçue de Mat/tématiqucs spéciales, [orne I, p. 310).
20. Une parabole de grandeur confiante se déplace en restant tangente n deux droite:; perpendiculaires ; trouver le lieu de l'extrémité du diamètre qui passe -par le point de rencontre des deux d.roi'es.
Soit x, y un point du lieu; l'équation générale des paraboles ttiiiii-entûs aux deux axes, et dont ce point est. l'extrémité du diamètre passant par l'origine est
ta ■+■ vy -H to)(«/;-H vy) — (tac — vyf = ; il suffit alors d'écrire que le paramètre est constant.
21. Lieu du centre d'une iniperiiule équilatère de grandeur confiante bitangente à une parabole.
22. Etant dor.nèes des coniques larme focales, par un foyer Y on mène une droite fixe. ; les tangentes au;,; points de rencontre de cette droite avec les coniques enveloppe ut une parallèle, qui a pour foyer le deuxième foyer F et pour directrice In décile fixe. La portion de ch.ii.que, tangente comprise entre la conique correspondante et la parabole est vue du foyer Y sous un angle droit,
23. Trouver l'enveloppe des polaires d'un point fixe par rapport à des coniques homofocales.
1, 'équation eenérale des conique* étant
la polaire du point %, jî sera déterminée par
(" a + Xl» [g + \)v -w
En éliminant >, on obtient l'équation de l'enveloppe,
qui représente une parabole tangente aux deux axes.
24. On considère des coniques li.omofocal.es, et l'on demande l'enveloppe des normales telles que les tangentes aux points d'incidence passent par un point fine.
Cette enveloppe est la même que la précédente ; expliquer pourquoi a priori.
25. On a vu (ex. 23; que l'enveloppe des polaires d'un point fixe par rapport à des coniques Itumu focales est une parabole. Quelle
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courbe doit décrire le. point fixe pour que le. point Je cor* tact de. l'axe de la parabole avec son enveloppe coïncide constamment, avec le foyer:' La parabole a pour équation
Son foyer est déterminé par les équations
'(.x -4- ay - ,
on en tire
D'autre part, on trouve aisément que l'axe de la parabole a pour équation
Considérons a et ? comme fonctions d'une variable; cherchons l'intersection de l'axe avec la droite infiniment voisine et écrivons que ce point coïncide avec le foyer. Il sera plus simple de poser
a = o cos 10, p = p sîn co
et de considérer ', comme l'onction inconnue de u>. L'équation de l'axe s'écrit
ç,x cos (o -+- py sin <o — c- cos 2(ii =
En diiïéren liant, on a l'ordonnée du point de contact de l'axe et de son enveloppe,
y= — ^-[sinoj(2cOS 2 (» + l)p + p' COS <o COS Soi].
Écrivons que celle quantité est égale à l'ordonnée du foyer
