=£ÎL
sin »>cos(o + p' cos 2w = 0,
L,a = i L cos â<o +- LA, Celte équation représente une lemniscate de Bernoulli.
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EQUATIONS UliNKHÀl.KS DE CUMULES Zzi
26. Une hyperbole équi/atcre honiofocule à une ellipse intercepte tur les eûtes d'un angle droit circonscrit à l'ellipse deux cordes
27. Si l'on consitlrre de* foiiiques homo focales, le lieu des points de contact des tant/entes menées par -un point P pris sur l'un des
axas est un cercle. Les cercles qui. correspondent à deux points pris respect irement sur chacun des axes se coupent orlhogonalement.
28. On considère les coniques tangentes à deux, droites rectangulaires OA et OB en deux points variables et à une droite AB en
un point ('.. On demande le lieu des foyers de ces coniques. Construire le lieu dans le eus particulier ai; le point C est au milieu de A B et "xa.rnitwr ce que devient ce Heu lorsque (', étant ait >n>li:'u de AU, ou a OA = OB.
29. Former l'équation générale des coniques pour lesquelles une droite AB donnée en longueur et en position est un diamètre, et qui sont tangentes à une droite CD.
Séparer les points de cor-tact de cette droite qui correspondent à des ellipses de ceux qui correspondent à des hyperboles.
Trouver le lieu des extrémités du diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact.
Prend™ pour axes AB et une parallèle ù CD menée par le milieu Je AB ; l'équation générale des coniques ayant AC pour diamètre
(ua -h w)!aa — v;)-\- \u + vmf = 0, m étant le coefficient angulaire des tangentes aux points A ut B.
30. Etant donnés deux points A et B sur une circonférence, on demande le lieu, des fat/ers des paraboles tangentes en A et l"S aux cordes MA et MIS, lorsque le pain! M décrit le cercle.
31. Une ellipse et une pantbole oui un foyer commun, et le second foyer de l'ellipse se trouve sur la directrice de la parabole; démontrer que le triangle ayant pour sommets le foyer commun et les points de contact d'une tangente commune est rectangle.
En prenant pour origine le foyer commun et pour axe Oa; l'axe focal de l'ellipse, on voit aisément que les équations des deu\ courbes sont
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6S(«! -| „!) 2 CMt0 — ^2 = 0, ( I )
et les tangentes coin m unes vérifient l'équation
(6> + 2c*}« + 21**1) + cio = 0; (2)
en écrivant que les droites joignant l'origine aux points de contact
d'une tangente sont rectangulaire*, on a une condition que l'on
peut obtenir en combinant (1) et (2).
32. Soient A, B, C, D quatre points quelconques d'un plan, ha, Ub, De les perpendiculaires abaissées de [), respectivement, sut- les droites LÏC. C'A, Alt. B'éniontver <p.<e les trois paraboles u'janl pour
foyers les points A, B, C et pour tangentes aux sommets les droites Du, T>b, De, sont inscrites à un même triangle.
Soient {x u j/i], (#j, m), (x-i, i/j), (x, y) les coordonnées des points A, B, C, D. La directrice de la parabole qui a pour foyer A est perpendiculaire à BC et passe par le point {2x -~ X[, 2y' — y,) symétrique de A par rapport à D.
L'équation de la directrice est donc
(a, j Xi — 2x){x^ — x s ) -h [y + y t — 2j/')(i/ s — y») = 0.
Or on a vu, au numéro 162, que l'équation de la parabole qui a pour lover le point (a, $) et pour directrice la droite [u a , u , io„) est
; ttû « -h v.p + «7 )(K 3 + e») - Ki« + C p -h ^)(«« + m,) = D. L'équation de la première parabole peut donc s'écrire («s -h »>)[(*, — *!,)(», — *'J + fy s — j/jjfy, — y')]
— [ua, ■+■ vy % -f- w)[m[ic 2 ■- as*) + u(yi — y t )] — 0.
On obtient les deux autres en taisant de* pcnnulct fions circulaires des indices 1, 2 et 3.
En ajoutant les équations des trois paraboles, on a une identité ; on en conclut que ces trois courbes sont inscrites au même triangle.
33- On donne un triangle ABC, un point D sur le côté RC et un
point Y dam- te plan. On considère, les deux conique* inscrites dans les triangles ABD, A('U et ayant pour foyer commun le point ¥. Le segment qui joint les points de contact d.- la laïu/ente AD est vu. du point Y sous un angle dont lu grandeur est indépendante du point D.
34. On donne un triangle et un point. On considère trois paraboles
ayant le point pour foyer cl tangentes ii deux cotes du triangle. Si
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l'on mène à la première de ces paraboles la tangente qui coupe per~
pe.ndu-ultureme.nl !,: troisième, c'U.é dit triangle, et de marne pour les deux autres, les trais droites qu'on obtient ainsi seront tangentes à une même parabole homofocule avec, les trois autres.
35. Etant données deux paraboles de munie, sommet et dont les axes sont perpendiculaires :
{" Trouvei- le lieu des points tels qu'une tant/ente menée à une parabole et une taïujenie. menée à l'autre soient perpendiculaires ;
2° Trouver les points pour lesquels les quatre tangentes sont perpendiculaires deux: à deus:;
3° Trouver l'équation de la tangente conrmune réelle aux deux purabol.es ;
4° Trouver le lieu de la projection du sommet commun sur cette tangente commune, quand le. point dont les projections sur les axes sont les foyers, décrit une circonférence ayant son contre au som-
36. Étant données deux droites rectangulaires (te, Oy et une ci>confère.nce louchant ces deux droites, démontrer que le foyer d'une parabole louchant iesluju.es Ox, Oy et lu circonférence donnée décrit une civ.-.oufèrenc.e lanijente à Ox et Oy.
Démontrer que ta corde de. con'act de la purabole avec l'angle xQy enveloppe rené hyperbole- équ.iia/ere. ayant pour foyer le point 0.
37. Une conique est inscrite dans un parallélogramme ABCD. La ttinuen.te menée en un point M de lu. courbe, rencontre, les cotés ]>C CD rcspeit.ive.me.nl. en \{, Q ; la parallèle à £0 par M coupe Al! en L, et la parallèle ù. CD par M coupe AI.) en X ÏSèmonlvr que les triangles LMQ et NMK sont èquicalen<s.
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