IE PL

<?«i 'du,

àf ,, <V.

d U2 h 'dw, ~

c)c, ' <lu,

iY +ii iVi

Multiplions les trois premières équations de gauche par « 2 . u-,, Wj respectivement et ajoutons-les membre à membre ; opérons de même sur les trois équations de droite après les avoir multipliées par u u w,, w, ; on obtient

II H- Î. S K = 0, en posant, pour simplifier récriture,

dui dvi 0w 3

K = „ ÎÛ+vÊlL + ^Èfl.

' Oui ' àv } ' dti'i

On déduit de là

puisque À, est différent de À,.

On a alors, quel que soit X,

H -+- >.K = 0, ce qui montre que les deux droites sont conjuguées par rapport à, la conique

/'(«, v, w) + Vi(«. ». w) = °-

Cette conclusion subsiste si à l'une des racines, À, par exemple, correspond un ombilic double ; dans ce cas une droite quelconque passant par ce point est conjuguée de la droite joignant les ombilics relatifs à À L > par rapport à. toutes les coniques du faisceau.

206. Théokiï.ue. — Les couples d'ombilics relatifs à deux racines différentes de l'équation (2) n'ont pas du point commun.

Hosted by

osihilics 231

Je dis qu'on ne peut avoir

/■-t-V.sPQ,

P, Q, R désignant des fonctions linéaires.

De ces relations on tircrail

flli-»i]sP(l 1 Q-J,H) 1

les deux coniques se composeraient alors chacune do deux systèmes de points, et ces deux systèmes auraient un point commun. Dans ce cas le premier membre de l'équation (1) se réduirait à un produit de deux facteurs, quel que soit \, et l'équation (2) serait identiquement satisfaite.

Le théorème subsiste si à l'une des racines, X, par exemple, correspond un ombilic double P ; aucun des deux ombilics relatifs à X 3 ne peut coïncider avec le point P,

207. Théorème. — Atoute racine simple de l'équation (2) correspondant deux omh'dixs distincts et. la droite qui les joint n'est tangente à aucune conique du faisceau (1).

Si à une racine multiple correspondent d-vu.i: ombilics distincts, la droite qui les joint est tiuiaente au mnme point, à toutes les coniques du faisceau (I).

On sait que la dérivée d'un déterminant dont les éléments sont l'onctiuns d'une variable est. égale à une somme de déterminants qu'on déduit du déterminant donné en remplaçant successivement dans cliaque colonne les éléments par leurs dérivées.

On a alors

lui 6"-HÀ6; O'-i-U'A 'a-i-la, If, b'+\b[\ \a-+-\a, 6"-hXô; V,[ ./,;=£; a'-t-la[ b-h\b, U- ô"-f-U; a; b-t-U, H- ô"-h1A; o'+Xa', b\ \b'i 6-1-X6, o"-HXaïl I64-16J 6, a'+Xoïl \l/-h'/Jj', b+ï.b t <| qu'on peut écrire

V(X) = a 1 A J ,-ha' l M,-\-a" i K-\-2b ! a i -\-2l/ l Bl.-^2b" l Bl

Hosted by

232 COORDONNÉES TANGENTIELLES . — GÉOMÉTRIE PLASE

En différentiant de même les trois déterminants dont la somme constitue à'(X), on a

- \»(X) = A, (a -+- Xfl,j • h A,V -i- la[) -+- A'[(a" + la';)

H- 2B,(i + Xi,) h- 3B;(i' + X (&',+ 2Bj(i" h- X**), où A,, Ai, ...,B',' désignent les mineurs du discriminant de la forme /■, («, w, w).

Cela posé, soient u,, u,, «', les coordonnées do la droite joignant les ombilics relatifs àla racine X, de l'équation (2); on a, fi étant un nombre différent de zéro (26),

ut = (iA v vf = jjiAi,, wj = nAÎ,,

y,«J, — [J.B, , )«,«( — .iB!. , W,î), = [lli£ ;

on en déduit Comme on a aussi

on en déduit

/',«„ »,, »,) = — |iiiA'(X,),

et par suite, on a, quel que soit X,

fn u »„ W.J + XAK tii, «V) = pfX — li)i'(Xi). En conséquence, si X, est racine simple, a'{X,) n'est pas

nul ; il en est de même du premier membre de cette dernière

relation; par suite, la droite {u i , v,,w,) n'est tangente à aucune

conique du faisceau M.

Si au contraire À, est racine multiple, a'(X,) est nul et la

droite it,, v,, w, est tangente à toutes les coniques du fais- Le point de contact est le même pour toutes les coniques

puisque la droite a même pôle par rapport à ces coniques.