Supposons que la racine Xi soit racine triple; on aura
[') Cette démonstration «st due a II. Koexias.
Nous nous sommes d'ailleurs servi dniis )'cïpftsil.ion de cette théorie d'un excellent mémoire publié par M. Iîiewknglowski dans la Revue de Mathématiques Spéciales, l-ome I, page 2S5.
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alors
c'est-à-dire, en vertu de l'expression précédente,
A l !a-+ï,a l )->rA' l {a' + l i ii[)-\-y,{a"+\ l a" l } + ..- = 0. Désignons par x. y, z et x 1 , y', z' les coordonnées des deux ombilics : on aura
/>, v, w) + ViK ». ») = (M+m/ + 'MF+»?/' + i'':'! ;
on en tire
a -+- lŒiX = ica^, «'-HÏ^i = ;/!/', a' + ljï^ = ;;',
2(4+X 1 i i )=yz'4-ïj', ï(J'-)-i i 6' i )=*x'- hic*, 2(fi"+À j 6 , ;)^^»/+t/^, et la condition précédente devient
A l xa/+A[yy'+A",zz'+B l {yz'+zy')+B' i (zx'+xz')-i-W l {xtj'-i-yx')=(i ; elle exprime que les deux ombilics sont conjugués par rapport à la conique (Ci).
Or la droite qui joint ces deux points P et Q est tangente au même point M à toutes les coniques du faisceau, en particulier à la conique (C,) ; donc l'un des points P ou Q se confond avec le point M.
Dans le cas où f\u, v, w) -+■ X,/",{u, v, w) est carré parfait, à la racine X, correspond un point double {x, y, z); la relation qui précède s'écrit
À,a; s -H A,'j/ S + A;'; 3 4- 2B,i/s + 2B',3ar+ ^\xy = ; ce point double est situé sur la conique (C,).
Avant de passer à la discussion de l'équation (2), il nous reste à établir les théorèmes suivants au sujet de la réalité des ombilics.
209. Théorème. — A une racine réelle de ('équation en X currespundanl ou deux ombilics réels, ou deux ombilics hd/tgiuaires conjugués.
Nous supposons bien entendu réels les coefficients des équations des deux coniques,
Comme X est réel, f(u, v, w)-\- X/i(u, «, w) est décompo-
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sable en une somme algébrique de deux carrés à coefficienls réels. Si ces deux carrés sont ulfecfés de coellicionts de signes contraires. >./'-+- j\ se décompose en un produit de deux lacteurs à coefficients réels. Si cesdeux carrés sonl all'ectés de coefficients de même si-ne, f-\-1,f t se décompose en un produit de deux facteurs dont les coeflicienis sont imaginaires conjugués ; les deux, ombilics correspondant à ces fadeurs sont également imaginaires conjugués, mais la droite qui les joint est réelle. On peut donc dire qu'à une racine réelle de l'équation en >. correspond une droite réelle ayant même pôle par rapport aux deux coniques.
210. Théokkjië. — ■ A une racine imaginaire de l'équation en '/• correspondent deux omhilïcs imaginaires non conjugués, cl. lu droite qui les joint est imaginaire.
Soit a -i- jSi la racine imaginaire ; si l'équation
représentait deux points réels ou imaginaires conjugués, ou aurait
/'+ (* + ?'Vi = (7 + «KP 1 + E Q S )> (' =± *)
P et Q étant des fonctions linéaires à coeflicienis réels. On en déduirait
et l'on voit aisément que f cA j\ auraient leurs coeflicienis proportionnels.
On aura donc
f+(«-«-pi)/'. = (p+w+«y)
^+{.-p,y 1 = (p-iQXP'-iQ').
On voit de plus que la droite qui joint les ombilics P-MQ = et P'-t- i'Q' = est imaginaire, car si elle était réelle ses coordonnées annuleraient P, Q, P', Q'; elle coïnciderait avec la droite joignant les ombilics imaginaires conju-
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OMBILICS 235
gués, ce qui est impossible en vertu du théorème 207, puisque la racine a -+- pi est simple.
Donc à une racine imaginaire de l'équation en ). correspond
une droite imaginaire ayant même polo par rapport aux deux
conique?,
