Discussion de L'équation en À

Premier cas. — L'équation en À a ses trois racines distinctes

Soient )-„ Xj, ), 3 les trois racines ; on a

/+ V. = l J iQ., f + Wi = p=Q*. f-*- Wi = P»Q«-

Les six points Pi, Q,, P s , etc. sont différents et la droite qui joint deux ombilics correspondants, tels que I 1 ! et Q, par exemple, ne contient aucun des quatre autres ombilics (207).

Les quatre droites, P t P 8 , PiCh, Q,[\ QjQ s forment alors un quadrilatère dont les côtés sont les quatre tangentes communes aux deux coniques; les points P s ei Q s sont les autres sommets de ce quadrilatère.

Donc quand l'équation (1) a ses racines distinctes, les deux coniques ont quatre tangentes communes différentes.

Les trois droites PfQj, PiQj, V^Q;, constituent un triangle conjugué commun par rapport à toutes les coniques du faisceau.

En ce qui concerne la réalité, on peut l'aire les hypothèses suivantes :

1° Supposons les trois racines Ai, '•*, ^a réelles.

Si les quatre points I'i, Qi, P 3 , Qî sont réels, les quatre tangentes communes sont réelles; il en est alors de même des deux autres points Pj et Q 3 ; le triangle conjugué commun est réel, ses côtés sont les diagonales du quadrilatère des tangentes communes.

On voit en même temps que si deux couples d'ombilics sont réels, le troisième couple est également réel,

Si les quatre points P : , Q„ P 2 , Q, sont imaginaires conjugués deux à deux, les quatre tangentes communes sont imaginaires; en effet la droite l'J'^par exemple ne peut être réelle

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23fi COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE

puisqu'elle rencontre en un point imaginaire \\ la droite réelle P,Q,.

Mais les deux points Pi et Q s sont réels, car le point P 3 par exemple est l'intersection des tangentes P,P> et Q,Qo qui sont imaginaires conjuguées; il en est de même pour Qj.

Le triangle conjugué commun est toujours réel.

2° Supposons >., et À a imaginaires conjuguées et ?. 3 réelle. Les points P^ et Qi sont imaginaires non conjugués, mais ils son! respectivement imaginaires conjugués de l\ et Q,. Les droites I'iPî et Q,Q S sont alors réelles et les droites P,Q S et P a Q, imaginaires conjuguées, puisqu'elles rencontrent en des points imaginaires les droites réelles P,P-, et Q[Q 2 ; P, et Q s sont réels.

Dans ce cas les deux coniques admettent deux tangentes réelles et deux tangentes imaginaires conjuguées.

Le triangle conjugué commun a un côté réel et les deux antres celés imaginaires conjugués.

On peut donc résumer de la manière suivante les résultats de celte première partie :

Quand l'équation en X a trois racines réelles et distinctes, les deux coniques ont quatre tangentes communes réelles ou quatre tangenles communes imaginaires conjuguées deux à deux, et le triangle conjugue commun est réel '•'K

Quand l'équation en X a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées, les deux coniques ont deux tangenles communes réelles eldeux tangentes communes imaginaires riuijugi.iées. Le triangle conjugué commun a un côté réel et deux cotés imaginaires conjugués.