Deuxième cas. — L'équation en X a une racine double
n'annulant pas tous les mineurs de XI.) et mie racine simple.
Soit X, la racine double et X a la racine simple; à chacune (le ces racines correspond un couple d'ombilics dislincts.
(Ij Puni (inu les qiiiitn.- tangentes (■(munîmes soient réelles, il faudra qu'il lieux racines \m moins de l'eqiiiiMoii en À eoiTes|.H.miluiit des couples d'ouihilics réels, c'est-à-dire qu'au moins deux racines rendent négatif Av. ou \-, 123).
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On a
/■+x,/- 1 =p i Q„ f+ y; = P»ft-
La droite P l Q, est tangente à toutes les coniques du faisceau au même point ; par conséquent l'ensemble des deux points P, et Qj constituant une conique du faisceau, on voit que l'un de ces points, P, par exemple, sera situé sur PiQ,.
Les deux coniques sont alors tangentes au point P s et admettent pour tangentes communes les droites PiQ» et. Q.Q..
Les deux droites P,Qj et ï>,Q, étant réelles, leur point de rencontre P s est réel ; il en est de même de Q,. Par suite, a la racine simple X 2 correspond toujours un couple réel.
Si à la racine double correspond un couple réel, les deux tangentes P,Q S et Q^Q, sont réelles, tandis que si le couple relatif à la racine double se compose de deux points imaginaires conjugués, les deux tangentes P,Q a et Q,Q^ sont imaginaires conjuguées.
On voit donc que dans ce cas les deux coniques sont tangentes en un point, réel et admettent deux autres tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées.
213. Troisième cas. — L'équation en ), a une racine double annulant lou-i les mineurs de i(ï.) et une racine simple.
)., désignant la racine double et >., la racine simple, on aura
la droite P S Q> ne peut passer par le point P,, puisque cette droite ne peut être tangente à aucune conique du faisceau. Do ces équations on tire
[X, — X i )/ , = * I PT-i i P 1 Q I1
On voit ainsi que les deux coniques sont tangentes aux points P; et Q a aux droites P,P a et P,Q 5 . (196) Le point P, est toujours réel, les points P 2 et Q s peuvent
être réels ou imaginaires conjugués.
Dans ce cas les droites qui ont même pôle par rapport aux
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2SS coordonnées tanoeyheli.es. — oéojiétrie plane
deux coniques se composent do la droite PîQ 2 et de toutes les droites passant par le point P,.
