Quatrième cas. — L'équation en 1 a une racine triple

n'annulant pus tous ks mineurs de i(>,).

Soit 1, cette racine: on a

/■+>,/', = P.Oi.

Nous avons vu que, dans cette hypothèse (208), les deux coniques sont tangentes au point P, à la droite P,Q,, et elles admettent une seconde tangente commune passant par le point Q,.

Elles ont au point Pi un contact du deuxième ordre, puisqu'on a l'identité

/•eh-V'. + P.Q, et que le point P, est sur la conique (C) (199).

La droile P,Q, est la seule droite qui a même pôle par rapport aux deux coniques.

215. Cinquième cas. — L'équation en À a une racine triple annulant toux les mineurs,

'/., désignant cette racine, on a

et nous avons vu (208) que le point P, était sur la conique (C,). Il en résulte (200) que les coniques ont au point P, un contact du troisième ordre, puisqu'on peut écrire fs-V.-M'ï.

Toute droite passant par le point P, a même pôle par rapport aux deux coniques.

216. Terminons cette discussion en cherchant dans quel cas le premier membre de l'équation en À est identiquement nul.

En décomposant i(>.) en une somme de déterminants, on obtient sans difficulté

Hosted by

OJiim.ics 239

i et i, désignant les discriminants des fonctions f[u, v. «■) et f,(u, v, w), et en posant

6 = Aa, -+- A'«, H- A.V t + 2H*, -+- Wb[ + 2Ii"iï,

e, = A,a + Aia'H-Aîo"-î-2B i 6 + 2Bi6'H-2BÏ4''.

Pour que i(i) soit identiquement nul, il faut qu'on ait

Les conditions i — 0, i, = expriment que les deux coniques se composent de deux systèmes de points P, Q et P„ Q,.

On voit aisément W que la condition 6=0 exprime que la droite PQ est tangente à la conique (Ci), c'est-à-dire passe par l'un des points P„ Q L . De même la condition h, ^0 exprime que la droite P,Q, passe par l'un des points

Ces deux conditions seront réalisées simultanément si l'un des points 1', Q coïncide avec l'un des points P,, Qi ou si la droits PQ coïncide avec la droite PiQ,.

Tels sont les seuls cas où l'équation en X est indéterminée.

217. Les racines de l'équation en À sont liées d'une façon 1res simple aux racines de l'équation du troisième degré qu'on obtient quand on cherche les sécantes communes aux deux coniques.

L'équation eu '/, peut en effet s'écrire

A -H lô -+- X 2 e, -t- î, 3 i, = 0, en posant

e = Aa, + A'ai H- AX + 2B6, -f-2B'6' t + 2BX-

B, = A 1 a+A' l a'-+-Afa"-H2B 1 fi + 2Biô'H-2BÎ4".

D'autre part les équations ponctuelles des deux coniques

<f(x, y, s) ~ Aa; a -l-A'i/ î + AV-i-2Bt/; + 2B / ^ + -IB'.iy = », o,(x, y, z) = A.iX i + A.' l y s -t-\" l : s +îB l ys + 2B' i zx + 2B«xy = 0,

jl) Car si », v. »■ dO^ignevil lus uuoi'iloiinées de l:i droite V\f, »', r a , etc. sont proportionnels à A, A', etc.

Hosted by

el l'équation du troisième degré exprimant que

ïto y, z) + (i?i(iB, y,z) = o

représente deux droites est

A 4- fiAj B" 4- -aB; B' -1- uBi

B" 4- j-ib; a' -+■ nA; b 4- i»B, = o .

B' + ,^B; B + hBi A*+(iA!

Désignons par S eL Si les discriminants des fonctions <f(je, y, z) et <?,(x, y, z) ; par a, a', . . . «i, «i . . . les coefficients de A, A',... A,, A', . . . dans le développement de S et de S, ; l'équation précédente pourra s'écrire 8 + ^ + ^0,4-^ = 0,

9 = aA 1 4-a'Ai4- «"A", 4- 2JJB, + 2ï.'B', 4- 2p"B, , 0, = a,A 4- «'.A' 4- «fA" 4- 2p,B -t- 2P',B' H- 2PÎB". Or on sait que

de plus

3 = A'A" — W = ai,

jï = B'B"— AB = 6A,

On aura donc

o — aô,, e, = A t e,

et par suite l'équation en ,u s'écrira

A 3 4- [iAB, 4- [ i ï A i e4-[J. a Aj = 0.

Si 1 on remplace dans celle équation <i par -— ■ - > on obtient l'équation en À; par conséquent les racines des deux équations sont liées par la relation

\tt = —■

Il résulte de là que les valeurs de \i sont réelles ou imaginaires en même temps que les valeurs de 1.

On voit ainsi que les tangentes communes et les points communs seront tous quatre de même nature.

Hosted by

OMBILICS 241

11 y a quatre cas possibles : quairc poinls réels et quatre lan génies: celles, quai rc poinls imaginaires cl quatre tangentes réelles, quatre points réels et quatre tangentes imaginaires, enfin quatre poinls imaginaires et quatre langenl.es imaginaires.

Si deux, tangentes seulement sont réelles, les deux coniques n'auront que deux points réels.

218. Plaçons-nous dans le premier cas et supposons que les deux coniques aient quatre tangentes communes réelles et quatre points de rencontre réels.

Nous avons démontré qu'il existait alors trois droites ayant même pôle par rapport aux deux coniques et que ces droites étaient les diagonales du quadrilatère formé, par les tangentes ; de plus ces droites farinent un triangle conjugué commun doiil les sommets sont les seuls points qui ont même polaire par rapport aux deux Coniques,

On déduit de là, à l'aide du principe de dualité, ou l'on peut établir directement, que si deux coniques ont quatre points communs, il existe trois puintsapntmême polaire et que ces points sont les centres des couples de sécantes communes.

En conséquence, les diagonales du quadrilatère des tangentes communes forment un triangle dont les sommets coïncident avec les centres de sécantes communes: ce qui revient à dire que toute droite qui joint deux ombilics corres-

Hosted by

pondants contient deux centres de couples de sécanles com-

219. Applications. — Considérons, le* équations Ungentielles de deux cercles,

Rè( m s + e ») [au -+- bv + »)• - 0,

En retranchant ces équations multipliées respectivement par R w et H', on obtient l'équation d'un système d'ombilics,

Ces deu\ ombilics sont sur la ligne des centres et la divisent harm uniquement ; ce sont les centres de similitude. L'équation de l'un de ces points peut s'écrire

(BR' + E a'R)a + (6R' + E 6'R) v + (R' + E R} w = 0. (s - ± 1) I.bs coordonnées de ces points sont donc

aR' + ^a'R MT+sS'R

R' + rfl et R' + sR

On peut discuter d'ailleurs la réalité des quatre tangentes communes, et pour simplifier le calcul nous prendrons pour origine le centre du cercle qui a le plus grand rayon et pour axe des x la ligne des centres.

Les équations des cercles peuvent alors s'écrire r(«,f,«) = R s (M» + ««)-^ = 1 ? («, », «,) = R'V + »») - («a + »)i = 0, en supposant R ^ R' et a > 0.

On a )/(», «, ») + ç(«, t., io) = pJV + R'» - «>> -1- [ï,R 2 -1- R'*)«i

(). + i) M s 2(IWW = 0i et l'équation en ). peut s'écrire

iJÀ) = — {XR' + R' s }/'(x) = 0,

fp.) = p.R 2 +R' ; — a*)[\+\)+a 3 = tfR 2 -l-).(R a -r-R' 2 — «»)-+- R'».

L'équation en /, admet la racine réelle — -^, à laquelle correspondent les centres de similitude, ondiilies qui sont toujours réels.

Pour que l'équation fÇi*)= ait ses racines réelles, il faut qu'on ait

(R -1- fi' H- a)[R + R' — a){R — R' -H a)(R — II' - a) > 0,

Hosted by

OMBILICS 243

qui se réduit par suile îles hypothèses à

(R -+- R' — a)(R — R' — a) > ; cette condition exprime que le* deux cercles ne *ont pas sécants.

11 en résulte déjà que si deux cercles se coupent, ils n'admettent que deux tangentes communes réelles.

Supposons maintenant que l'équation /'(à) = ait ses racines réelles et cherchons la condition pour que les quatre tangentes communes soient réelles.

II faut pour cela que les deux racines de f{>.} rendent négatif le mineur

A* = — (î.R'-r-R'iJO.+ i).

11 est aisé de comparer les nombres — 1 et — -57 au * ra " cines V et "/." de /'().). On reconnaît que — 1 est inférieur à ces deux racines ; de plus — - R -y est inférieur ou supérieur aux deux racines selon que a 1 est supérieur ou inférieur à R 2 — R' 1 , Si les doux cercles sont extérieurs, on a a >R + R' tt*>R> — R'« ; Aj, csl négatif pour t, = V et pour >, = à" ; les quatre tangentes sont réelles.

Si les deux cercles sont intérieurs,

a < il - II' et a<R+R';

donc „2<R^ R 'j .

A-„ est positif et les quatre limantes sont imaginaires.

220. L'équation L'énérale des coniques ayant deux foyers donnés [a, b) et [a\ b') est

X( au + bv-h »)[«'« + b'v + w) -+■ « a 4- •■ = 0. On peut en eiîet considérer ces coniques comme inscrites dans le quadrilatère dont les deux foyers et les points cycliques constituent deux couples de sommets opposés.

Cela étant, considérons deux coniques ayant un foyer commun ; leurs équations peuvent s'écrire

a(aw + &t> + io)(a'u + &'u + w} + M' -l-t!« = 0, p (nM + bv + wXo*w + b"v + w ) + «i + «■ = ; en retranchant membre à membre, on obtient l'équation d'un couple d'ombilics,

Hosted by

244 COOHDONNÉES TANGENTIELLES . — GÉOMÉTRIE PLANE

qui se compose du foyer commun et d'un point situé sur la droite joignant les deux autres foyers.

221. Par un procédé analogue on peut obtenir les foyers dune conique représentée par l'équation

11 suflit d'écrire que l'équation

f(u, v, w) — S (m 2 + v 1 — 2nv cos (!) — représente deux points ; ces deux points seront des foyers. Pour cela, il faut que S soit racine de l'équation (t2oJ a"S* sin a — (A ■+ A' — 2B" cos 0) S + 4 = 0. A chaque racine de cette équation correspondent deux foyers ; d'autre part les coordonnées de la droite qui les joint annulent les dérivées partielles

f u — 2S(w — v cos 0), fi — 2S(t> — m cos 8), fi,;

cette droite est donc axe de la conique (123).

222 Considérons maintenant deux coniques tangentes à l'origine à l'axe des x. Leurs équations sont

f = m 5 + 2bmc -f- 2b'w>.( -+- a°w 3 = 0,

On en déduit /4-Vt = i^(l+\)+t[b+\b l )vw+2(b'+\b[)v>iH-(a''+Xa" 1 )w i = 0,

et l'équation en 1 esl

A la racine double — — correspondent deux ombilics situés suc l'axe Qœ ; à la racine simple correspondent l'origine et un autre point.

Pour que ces deux coniques aient à l'origine un contact du deuxième ordre, il faut que l'équation en 1 ait une racine triple, c'est-à-dire qu'on ait

Le couple d'ombilics correspondant a alors pour équation

Pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que ces deux points soient confondus à l'origine, c'est-à-dire qu'on ait b\ — &'.

Hosted by

OMBILICS 243

Nous retrouvons ainsi fort simplement les conditions obtenuesau numéro 112.

On établirait de la même manière les conditions pour que deux

Cliniques asymptotes à Oj; aient à l'infini un contact du deuxième ou du troisième ordre.

223. Nous terminerons ces cas particuliers en considérant deux paraboles dont les axes sont parallèles à Oœ et ayant pour équations

f = m» 4- aV + 26'mw + Vfuo = 0, f, = u*-\-a! i & + 2l\uw + %b t w> = 0.

On aura

f-hlf, — u\i+\)-j-(a'+\a' l )v»+2(b' -h^uw +2(b"+\b^uv = 0, et l'équation en ^ est

A la racine double — -r, correspondent deux points à l'infini, ce qui pouvait se prévoir, puisque les deux courbes sont lu ri irrites à la droite de l'infini au même point.

A la racine simple ; correspondent le point à l'infini sur Qœ

et un autre point à distance finie.

Pour que les deux paraboles aient a l'infini un contact du deuxième ordre, il faut que l'équation en >, ait une racine triple, c'est-à-dire qu'on ait

Le couple d'ombilics correspondant e:

et pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que ce* deux points soient confondus, c'est-à-dire qu'on ait

224. Exercice. — On donne une conique, un point sur celle c,oniip.i'i ut ■'''".'■ t'Oitsidir,'!; ■•!' carcla vo.riabt? tangent à /■■( noniqne nu point 0. On il-enifni'le la liait dan points da concours des tamjimtes communes au cercle et à la conique.

Prenons pour axes des œ et des y la tangente et la normale au point à la conique donnée ; l'équation de cette conique est

Hosted by

246 COORDONNÉES TÀNGEHT1EIXES. — GÉOMÉTRIE PLANE

D'autre part, en désignant par m l'ordounéu du centre du c( son équation s'écrit

( , w+te ). M y + ^ =

L'équation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère des tangentes communes est

;i+W)M s -t-2(& — \m)vw-\-ib'u>u-\-[a" — X)w s = 0, et l'équation en à correspondante peut s'éerire

A(X) = — (1 + \m?){b — Xm) s = 0.

A la racine simple ^ correspondent l'origine et le point

dont on cherche le lieu; l'équation de ce point est donc

Ses coordonnées sont

et en éliminant — entre ces deux équations, on a l'équation du

lieu,

(6'y — btt>)* = x{îb'a — a'ri),

qui représente une conique normale à l'origine à la conique donnée. On a aisément l'équation tangontielle du lieu en écrivant que l'équation

a ses racines égales en —, ce qui donne

qui peut s'écrire

m* -H 2bvw -+- 2b'uw -+- a"w a — (w 2 -+- o 2 ) = 0, et sous cette forme on reconnaît que la conique trouvée est hornofocale à la conique donnée.

Remarquons aussi que cet exercice est un cas particulier de l'exercice résolu au numéro 190. Le point P est dans ce cas sur la conique, et des deux coniques hoinofocak's trouvées, l'une coïncide avec la conique donnée.

Hosted by

EXERCICES ET NOTES

1. Nous avons vu que pour déterminer les ombilics relatifs à deux coniques définies par les équations tangentielles

on écrit que le discriminant de f-h\fi est nul ; on obtient une équation

4(1) = 0, et en transportant une des racines dans f-h~f.fi, cette expression se décompose en un produit de deiiN facteurs linéaires qui, égalés à zéro, déterminent deux ombilics.

Si l'on veut trouver le lieu géométrique des ombilics relatifs à deux coniques dont l'une au moins est variable, on peut obtenir les coordonnées des deux point- représentés par l'équation

f+y, = o, même sans résoudre l'équation en \; il suffit de décomposer en carrés f + ~xfi et de négliger le troisième carré qui est nul. On élimine alors les paramètres variables et ). entre les équations qui déterminent les coordonnées des ombilics et l'équation A (X) — 0.

Les calculs sont souvent laborieux et cette méthode n'est pas à employer dans le cas général; elle n'est réellement avantageuse que lorsqu'on peut résoudre l'équation en y„ ou lorsqu'on connaît à l'avance un ombilic, quand on sait par exemple que les deux coniques sont tangentes, etc. Nous en donnerons d'ailleurs bientôt quelques exemples.

Dans le cas général il est préférable d'opérer de la manière sui-

Soit (», y) un point do lieu ; j'écris que les tangentes issues de ce point aux deux coniques sont les mêmes, c'est-à-dire que les deux systèmes

a«-M>y + w = 0, ux + vij-h w = 0,

fin, «, w) = /■.(«,., wj =

ont mêmes solutions, ou, en éliminant w entre ces équations, on écrit que les deux équations

Hosted by

ont mêmes racines en u et ». On obtient deux relations entre lesquelles on élimine les paramètres,

2. Lieu des point* de concours des lanyenles communes à une ellipse fixe et à un cercle do,\t le centre est fixa et le, rayon variable. Suieni.

les équations des deux courbes, p étant variable.

En opérant comme on l'a dit plus haut, on considère ies équations

aïu' + tfv*— [we + vyf = 0, [«(« - <*) + v(y - y )]= - p>= + «■} = 0, et on écrit qu'elles ont mêmes racines, ce qui donne

>— **¥ -p* (y—iio? — ?* (* — **)[<> - y„>

On élimine aisément p-, et on trouve comme lieu une slropholde dont le point double est le point x,, y„.

3. Lieu des points île concnuru des tart-jentes communes à une ellipse lire e'. à une ellipse de tjrandeur c.amtan'.a qui tourne autour de son centre supposé fixe.