I.e; équ.ition* des deux courbe* peu vont s'écrire
a'*{u cos ?-i-p sin of-hb'\u sin o—v cos o) 3 — (<mi; -|-«i/o+' ) s =0, a', b' désignant les demi-axes, x if y„ les cordonnées du contre ; o est la variable.
On peut appliquer la morne méthode.
4. Lieu des points de concours des tangentes communes à une ellip-e :\r,e et <>, Imite': les h/p'.rtio'ci é'jitU-itères oui passent par les foyers (réels et iotay inaires) de l'ellipse.
5. Si î'on connaît un ombilic relatif à doux coniques, il est aisé
d'en déduire l'ombilic correspondant, c'est-à-dire le point qui, joint ii l'ombilic, connu, constitue une conique fipp.irteninl. an faisceau tangentiel déterminé par les deux coniques.
Soient, on effet, a, jî, ■; les coordonnées d'un ombilic; les équations des deux coniques pourront, s'écrire
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OMBILICS 249
f( u , v, u) h- (im -+- u? 4- »y)tfu + t>y + im) = 0,
fl M , t>, w) -I- (i« + »? + wr )(i«' -s- flj,' -)- «]'] = 0, en désignant par /"(», «, id) =0 une conique quelconque tangente aux deii\ tangentes communes issues du point a, ji, y. En retranchant [es deux équations, on a
(« te + «p + w T )[«{*-«') + *(y— y'j +*(* — •')] = 0, et l'ombilic correspondant au point (a, p, y) a pour coordonnées
Comme ce point est sur la droite qui joint ies points (a, y, s) et [œ', y', s'), on a le théorème suivant :
Si trois coniques ont un ombilic commun, les ombilics correspondants et relatifs aux coniques prises deux à deux sont en ligne droite.
6. Démontrer que si deu.c coniques de grandeur /ire ont v.n foyer comïu?in [ ; , et si l'une tourne autour de ce foyer dans son jilan. le lieu des points de concours îles bviiijent.es communes <'< ces dei.'.s: coniques est un, cerc.li:. Si les deux coniques sont telles que. dans une de leurs positions, les tangentes cuinmuncs soient parallèles, elles le seront dans toutes; oion'.rer que !■>. condition- '.<•■ jiuru/lèlisrne d.c ces tangentes communes est t'ègaH'.è des axes non focaux.
Le point F est un ombilic commun ; on aura aisément l'ombilic correspondant.
Soit
l'équation de la conique (ixe ; en transportant l'origine au fover i—c, 0) l'équation devient
6 S (« 2 ■+- »») — gciiio — w- = 0.
Si l'on désigne par 9 l'angle des axes focaux des deux coniques et
par a', 1/, c' les éléments de la conique qui se déplace, on trouve
aisément que l'équation de celle conique esl
6' 2 (w a + t> 2 ) — 2c'(w cos e + « sin B)io — i<j 3 = 0. Eliminons u'-hv- ; il vient
w[2u(Ms' cos 9 — V>e) -h 36Ve sin 9 -H (& s - *'*)«] = 0, nous obtenons ainsi les coordonnées d'un point du lieu — 2'W cos — h'*c) SfrV sin Q\
il est aisé d'achever,
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