Lieu du sommet d'une parabole tangente et confoeale à une

ellipse ; enveloppe île la ilinxtrire et île in tnnyç.nle au sommet.

Pour écrire que la parabole est tangente à l'ellipse, on écrit que l'ombilic correspondant au foyer est sur l'ellipse.

8. Lieu des centres des cercles tauyents à une ellipse et admettant avec celle eliips-' d,-ax- (a,, //entes cocnôiurtes parallèles.

Soit ah,'- -+- &H> a — w* = l'équation de l'ellipse; x, y désignant les coordonnées d'un point du lieu, on considère l'équation

À^ 1 "' -+- (>■»' — ie B ) + [uas-h »y + iv)* - R s (u> 4- » 2 ) = 0, et on écrit que celle équation représente deux point* dont l'un est à l'infini et l'autre sur l'ellipse.

9. Etant donné un parai 'lé/oy ranime OAI'B, on considère deux parabole.!! variables, l'une tangente en A à AC et ayant pour diaaiètre OA, l'autre tunyente en B à BC et ayant pour diamètre OB ; on suppose en outre que ces de».': parallèles sont lanycnies en un peint M ; In tangente cornu, mie en ce point rencontre, la seconde taagen'.e commune en an point I'.

Démontrer que la tangente en M passe par un point fixe et trouver les lieux yeoinririqti.es des points M et 1\ Prenons pour axes OA et OB et posons OA = a, OB = b. Les équations des deu* paraboles sont

f=pv* + u{ua+w) = 0,

• ? = qu> + v{vb + u>) = 0; on on déduit

f-HÎL? = uHa + \q) -)- v*!p -h\b) + uw + \vw = 0: en écrivant que le discriminant est nul, on a

->?[a -h'/.q)-i-p -h'>à = 0, et pour toute racine de cette équation on a

ou encore, en tenant compte de l'équation en ï,,

f-h\tf = (i*+ !»)[«(« + i3) — n{a-ht,q)-hw] = 0;

cette éi|ii;iliiin représente Lin point à l'infini et un point;') distance finie qui a pour coordonnées

x =a+ig, y = —\[a + \q). (1)

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OMBILICS 251

Pour que les paraboles soient tangentes, il faut que l'équation en x ait une racine double.

Si on remplace )- par cette racine double dans les relations (1), on a les coordonnées du point P ; au contraire en y remplaçant 1 par la racine simple, on a les coordonnées du point M.

La racine double ). s.iti^fait à l'équation dérivée Tf.'q + 2a) -H b = ;

on en tire q = - ± - ■ et, en remplaçant dans (1), on a les

coordonnées du point P :

îlii éliminant À, ou a le lieu du point P.

La somme des racines de l'équation en î. est , donc la racine simple est égale à — 2). ; les coordonnées du point M

sont alors

x = — 2*s, y = — 2<rt - 4XY

ou, en remplaçant, q par sa valeur — — ■

. = jr y= 3 (M)

En éliminant X on aura le lieu du point M.

La tangente en M est la droite MP ; on vérifiera aisément qu'elle passe par le centre de gravité du triangle ABC.

10. D'un 'point M situa dans le plan d'une conique on mène à celle-ci les deux tani/entes MA et Mli, put* par le point M on trace une droite quelconque Ml'. Ait.* points A et lî on construit les coniques ivpTiit un contact du trois'hne ordre aoec la. proposée et tangentes à MC.

Démontrer que ces coniques touclient MC ira oièine point C, et que si l'on faisait tourner l'une d'elles de manière, à la rabattre autour de MC du côté de la première, les coniques obtenues auraient en ce point tin contact du troisième ordre.

11. Une conique variable a un contact du deuxième ordre avec une hyperbole équilaière et a. un foyer fixe au. centre de cette hyperbole; démontrer que le:, laoyeutei continuées aux deux courbes se coupent sur une lemnheate.

12. En un 'point M d'une conique, on construit la parabole ayant

un contart du deuxième ordre et l'on prend le sifuiéj.rique P du foyer de cette parabole par rapport, à la. ta.)) ij ente en M ; démontrer que le point 11 et tort sipuétiique par rapport à P sont réciproques par rapport au cercle orthoptique.

Prenons pour axes la. tangente et la normale au point M ; l'équation île la conique sera

1 .'('■; juaii on générale des coniques ayant à l'origine un contact du deuxième ordre avec celte conique est (199)

et par conséquent l : équntion générale ile = paraboles pourra s'écrire

ait 2 -+- 2bvw + Sam m = ; on verra aisément que la polaire de l'origine par rapport au cercle orthoptique passe parle point P.

13. Lieu des foyers et eaceloppe des axes des paraboles ayant en un point itounè un contact du deuxième ordre ace:: une conique donnée.

14. On considère toutes les eo'niqaes a.yant. un contact du troisième ordre eu un point donné avec une conique donné': ; trou.ee.r le lieu <lnn centres, des foyers et ïeneeloppe des axes.

On prendra pour axes la tangente et la normale à la conique lise au point donné.

L'équation de cette conique sera

et l'équation générale des coniques variables sera

15. Deux ellipses égales sont tangentes à la même droite au même poui'. jix.e, l'une par l'extrémité du. grand, axe, Fa>aee par l'extrémité du petit axe. Les deux demi-axes a et b sont liés par la relation ab = constante. On demande le lieu des milieux des tangentes rom-

16. l'étant données deux canaque:: tangentes en un 'point 0, mène une tangente commune. OU. ainsi (que les tangentes extérieures AA', ÊB', qui se coupent en M. Cela posé, o; de démontrer que :

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OMBILICS 253

1° La droite P1 J ', qui joint les -points 1' et P' diamétralement opposés itu point rf«f!.î /es (fi'!!,' 1 eoniqv.es, pusse par le point M.

2° Les droites AB, A'Ii' gui joignent les points de. contact de chaque conique arec les tangentes communes e:etéri.enres l se coupent en un ■point ]{ qui est situé su.'.- la tangente comoiune OU.

5° Les tangentes menées aux deux coniques par le point R touchent les courbes en des points qui sont situes su.r la droite MO.

On fera voir que, généralement, le point \\ ne partage cette propriété aaec aucun, autre, point, et on déterminera lu condition qu.t doit être remplie pour qu'il existe une ligne telle, que les tangentes menées par i Iw.fjuc point de ectte ligne ans- deux eoniqu.es donnent quatre points de contact en ligne droite.

17. Lieu des centres des ellipses dont les axes ont une direction

donnée et qui oui, en un point donne, un contact du second ordre avec un cercle, donné.