GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES ET PRINCIPE DE DUALITÉ
31 . Considérons maintenant une équation homogène, algébrique ou transcendante, entre les coordonnées w, u, to d'une droite,
Nous allons montrer que toutes les droites dont les coordonnées satisfont à cette équation sont en général tangentes à une certaine courbe que nous chercherons à déterminer.
Le problème revient à chercher l'enveloppe de la droite
qui a pour équation
ux -\- vy -h wz = (2)
quand ses coefficients satisfont à l'équation (1).
Comme nous l'avons déjà dit, l'équation de la droite ne renferme que deux paramètres indépendants, lesquels sont liés par une relation ; nous sommes dans un cas particulier de la théorie générale des enveloppes. Il est bon de mettre en évidence les deux paramètres.
Remarquons pour cela que la droite dont on cherche le point limite ^*^ ne peut à la fois passer par l'origine et être parallèle aux deux axes ; nous pouvons donc supposer que l'un
(1) C'est-à-dire le point où la droite touche son enveloppe, ou encore la position limite du point de rencontre de cette droite avec la droite infiniment voisine.
des coefficients w, v, w est différent de zéro, par exemple w z^()\ ce coefficient peut alors être considéré comme constant, il ne reste plus que les deux paramètres m et v ; on peut appliquer la méthode générale, le point limite est déterminé par Téquation (2) et Téqualion suivante :
ou
'écrire
ux-i-vy uf'u -+- Vf;,
— WZ
-wa
X y a fi
Si Ton supposait w ^é 0, il est clair qu'on obtiendrait les mêmes équations (3). On voit donc que dans tous les cas et quelle que soit la droite considérée dont les coordonnées satisfont à (i), le point limite de cette droite est déterminé par les équations (2) et (3).
On aura Téquation de Tenveloppe en éliminant w, u, iv entre les équations (2) et (3).
Il est en effet inutile de se servir de l'équation (1), puisqu'elle se déduit des équations (3) en tenant compte de la relation (2).
Ou obtiendra ainsi une équation homogène en ar, j/,z, qui sera l'équation d'une courbe, et toutes les droites dont les coordonnées satisfont à l'équation (i) seront tangentes à cette courbe-
