Signe du premier membre de réquatlon d'un point. — Le
premier membre au-\-bv-hciv de Téquation d'un point s'annule pour les coordonnées d'une droite qui passe par ce point, mais il prend une valeur différente de zéro quand on y remplace w, u, tv par les coordonnées d'une droite ne passant pas par le point. Nous nous proposons d'étudier le signe de cette valeur quand la droite se déplace dans le plan.
Une droite étant tracée, ses coordonnées ne sont déterminées qu'à un facteur près, de sorte que le signe de au-^-bv-\-cw ne dépend pas de la position de la droite dans le plan, puisqu'en multipliant les coordonnées par un nombre convenable, l'expression considérée peut prendre le signe que Ton veut, la droife restant la même. En conséquence, pour qu'à une position de la droite on puisse faire correspondre sans ambiguïté un signe déterminé pour au-hbv-^cw, il est nécessaire de fixer à l'avance le signe d'une des coordonnées w, u, w.
Menons par le point considéré A (supposé à distance finie) une parallèle à Oy, et soient Aî/i la portion de cette parallèle dirigée vers les y positifs et ky[ la portion dirigée vers les y négatifs.
Soit maintenant une droite quelconque A ayant pour coordonnées w, V, IV ; elle rencontre la droite yiy[ en un point B qui a pour ordonnée
au -+- cw I/o = —7^;
prenons la différence des ordonnées des points B et A ; on a b au-\- av h au -+- 6u -+- cw
c cv c cv
Dès lors, suivant que l'ordonnée du point B est supérieure ou inférieure à celle du point A, le produit {au -+- bv'{'Cw)cv sera négatif ou positif.
On est donc conduit à la conclusion suivante :
En supposant v^O, V ex pression au-{-bv + cw a même signe que cv si la droite (u, v, w) rencontre la parallèle à Oy menée par le point A en un point situé sur la demi-droite ky\ ; cette expression a le signe de — cv si la droite {u, u, iv) rencontre la parallèle sur la demi-droite At/i.
Dans le cas où u = 0, c'est-à-dire où la droite est parallèle à Oy, on mènera par le point A une parallèle à Ox et on aura des conclusions analogues.
21. Bissectrices d'un angle. — Soient deux droites, ^i(wi, V,, w'i) et A2 (w2ï 1^2' ^2). Les équations des bissectrices des angles formés par ces droites sont
(wiar-hUiî/H-ît'j) sinô {uiX+viy -\-iv 2)^1x1^
sju\ H-rJ — 2miVi cosô )Ju\ -h t?J — Sm^Vî cos ô Posons
= 0. (e = it 1)
p, = sju\ -H v\ — tUiV^ cos 6 , P2 — >Ju\ -h u| — 2m2î?2 COS 6;
on voit que les coordonnées de ces deux droites seront
pi p2 pi P2 pi p2
En donnant à e le signe de u^u^ + v^v^ — [uiV^-^u^Vi) cos 6, on aura la bissectrice de l'angle aigu (12) ; à l'autre valeur de E correspondra la bissectrice de l'angle obtus.
22. Bissectrices des angles d'un triangle. — Soit le triangle ABC ; désignons par
P^ r= UiX -h «1?/ -^ IV ^ = 0,
P2 = U2X H- v^y 4- uh = 0, P3 = u^x-hv^y-hw^ =
.!lî.
Wi u\
les équations des côtés BC, CA et AB.
Les bissectrices des angles formés par les droites AB et AC ont pour coordonnées
en adoptant les mêmes notations que dans le numéro précédent.
11 nous faut maintenant déterminer la valeur de e qui correspond à la bissectrice de Tangle A du triangle.
Pour cela, menons par le point A une parallèle AD au côté BC; les coordonnées de cette droite seront de la forme Xmj 4- 1JLM3, lv2 -+- [102, y^Wi -h |JL26'3, avec la condition
X»/2 -h {XM3 Xua H- IJ1O3
ou
X[w,i;2 — «2^1] = ^[«'sUi — W1V3].
On peut prendre
X = U^O^ Mit's, jJL = W1V2 — W2U1.
Or la bissectrice de Tangle A du triangle et la droite AD sont dans des angles différents par rapport aux droites AB et AC. En vertu d'une remarque faite à la fin du numéro 12, cette bissectrice s'obtiendra en donnant à e, dans les expressions qui précèdent, le signe de ♦ c'est-à-dire de
Ml «2 — WîVi
On aura de même les bissectrices des autres angles du triangle.
On peut établir sans peine que ces trois bissectrices concourent en un même point.
Les équations de ces bissectrices peuvent s'écrire
he— = 0,
Pî P3
Pî pi
COORDONNÉES. — Il 2
Pi ?2
£, e' et e" étant égaux à ifc 1 et ayant respectivement le signe de
W1U3 U-sVi U2V1 lliV2 ^ W3U2 — W2U3
, et î
W1U2 M2U1 W2U3 «3^2 U-iVi Wit's
de telle sorte que
eeV' = — 1.
Multiplions respectivement les équations des bissectrices par 1, — £, zt' et ajoutons, on a une identité; donc les trois droites passent par un môme point.
23. Équation de l'ensemble de deux points. — Si le premier membre d'une équation homogène de degré n par rapport à w, r, w se décompose en un produit de n facteurs linéaires, l'équation représente n points dont les équations s'obtiennent en égalant à zéro les facteurs linéaires.
Par exemple, si l'équation ne renferme que u et i(\ le premier membre sera développable en un produit de facteurs binômes tels que ua -h îvc^ et par suite l'équation représentera un certain nombre de points situés sur Ox.
De môme toute équation qui ne renferme que v et iv représente un ensemble de points situés sur Oij.
Nous allons considérer une équation du deuxième degré,
f{u, V, w) = au^-\- av^-h a!'w^ 4- "Ibvw H- Wwu -h Wuv = 0, (6)
et supposer que le premier membre est décomposable en un produit de deux facteurs, c'est-à-dire que
On a alors une identité de la forme
f[u, u, w) = [u% -+- u? + 26'y) [ut! h- v^' -h w-{) ; l'équation représente les deux points qui ont respectivement pour coordonnées homogènes a, p, y et a', p', 7'.
On déduit de cette identité a = aa', a' = p?', a" = r(\
26 = py -^- ïP', 26' = ya' -^ ay', 20" = ocp' + px'. ^ ^^^ Si a'' ;z^ 0, les deux points sonl à distance finie.
24. Si tous les mineurs du discriminant A ne sont pas nuls, /*(w, V, w) est décomposable en un produit de deux facteurs distincts,
/(w, V, ?i;) = P.Q, en posant
p = wa -4- «p H- i^Y » Q = Mx' + up' -h w^'.
En prenant les dérivées partielles, on a
^^ = aQ 4- a'P,
A^ = ïQ + yT,
ce qui montre que les trois équations
ont un seul système de solutions ; ce sont les coordonnées de la droite qui passe par les points F et Q.
Si au contraire tous les mineurs de A sont nuls, /*(u, v, w) est carré parfait, l'équation (6) représente un point double, les dérivées partielles /*„, /*v, fw sont proportionnelles , et en les égalant à zëro, on a un système d'équations vérifiées par une droite quelconque passant par le point double.
25. Dans ce qui suivra, nous désignerons selon l'usage par A, A', A", B, B', B" les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement de A ; on aura alors
A =aV— 6^ B =b'b'''-ab,
A" = aa' — b"', B" = bb' — aV.
On sait que ron a également les formules
A'A'' — B2 = aA, B'B" - AB = ÔA,
A A' — B"' = a\ BB' — A^'B" = b'^.
Si A est nul, comme nous le supposons ici, les trois nombres A, A', A'' sont de même signe.
Supposons maintenant que les deux points soient à distance finie, c'est-à-dire a"z;6 0j et proposons-nous de déterminer dans quel cas ils sont réels.
On peut écrire
a7(w, u, w) = {a'w 4- 6u -h b'uY h- A'm^ — 2B"wu -h Av^.
Les deux nombres A et A' ne peuvent être nuls en même temps, car la relation
AA' — 8"^ = a''A =
entraînerait B" = ; /*(i/, t?, w) serait alors carré parfait et les deux points seraient confondus.
Supposons A' :;zf: ; on aura
a''f{u,v,w) = [d'w-^bv-^b'uf-^^,{Pi!u—S'vY.
On voit alors que si A' < 0, /*(w, y, w) est décomposable en un produit de deux facteurs réels, l'équation représente deux points réels.
Si A' > 0, elle représente deux points imaginaires.
Supposons maintenant a" = ; on peut écrire
/•(m, V, w) = au» -h aV -h ^b'uv + 2w{bv -+- b'u),
et comme on a
A = — aô^ — a'b'^ 4- "ibb'b" = 0,
on voit que bv-^-b'u divise au^ + a'v^-^- Wuv^ car en remplaçant dans cette dernière expression u par b ei v par — b\ on obtient
ab^ 4- a'b'^ — ^bb'b" = — A == .
Si donc b et b' ne sont pas nuls en même temps, Téquation représente deux points réels dont Tun est à Tinfini. Enfin si ô = 6' = 0, Téquation se réduit à
elle représente deux points à Tinfini, réels, imaginaires ou confondus, selon que aa! — b"^ ou A'' est négatif, positif ou nul (*>.
Il résulte de là que si l'un des trois nombres de même signe, A, A', A", est différent de zéro, l'équation représente deux points distincts, réels si ce nombre est négatif et imaginaires dans le cas contraire.
Si les trois nombres A, A', A'' sont nuls, tous les mineurs du discriminant sont nuls et l'équation représente un point double.
En résumé :
A -h A' -h A" < ; l'équation représente deux points réels ; A-i-A'-hA''>0; — — deux points imaginaires ;
A -4- A' -4- A" = ; — — un point double.
26. Cherchons maintenant l'équation de la droite qui joint ces deux points.
Cette équation peut s'écrire
Pour pouvoir exprimer les coefficients en fonction de a, a', ..., multiplions le premier membre par Py' — yp' et remarquons que
(Pï'~yPO^ = (Pï'-^ïP?~4ppVï = 4(ô^-aV) = ~4A,
= 4(aV— 66') = — 4B%
(Py'~yP'X«P'-P^') = 2pP\ïa'4- aYO-(?ï' + ÏP')(«?'+ P»0 = 4(a'6' — 6"6) = — 4B'.
(1) On trouvera le tableau résumant cette discussion au numéro 98.
L'équation de la droite peut donc s'écrire
Aa? -h B"?/ -h B'3 = 0.
En multipliant de même le premier membre de Téquation de la droite par ^a' — af, puis par «p' — pa', on obtient successivement pour équation de la même droite
B^ar + A'tz + Bz = 0,
B'ar H- By -h A'z = 0.
Les premiers membres de ces équations sont les demi-dérivées partielles de la fonction
cp(ir, y, z) = kx^ H- Xy -+- A"z2 + 2Byz + 2B'zx -+- ^B'xy,
qui est ce qu'on appelle la forme adjointe de f{u, v, w).
Comme ces trois dérivées sont proportionnelles, cette forme est carré parfait ^*\ et en égalant sa racine à zéro on obtient l'équation de la droite qui joint les deux points.
Si donc on désigne par u', v\ w' les coordonnées de cette droite, on aura l'identité
Xcp(ir, y, z) ^ {u'x-i- v'y -h iv'zy, d'où l'on déduit
u'^ = XA, v'^ = XA', w'' = XA%
vW = XB, w'u' = IB\ Miv' = XB^
27. On peut obtenir ce résultat par un autre procédé plus simple.
Désignons par P et Q les deux points représentés par l'équation (6) ; joignons ces deux points à un point quelconque M (a-, 2/» 2) du plan; les coordonnées des droites MP et MQ satisferont aux deux équations
/•(w, u, w) = 0, ux -^- vy "{- wz = 0.
(1) Cela résulte aussi de ce que les mineurs du discriminant de cette forme sont nuls, d'après les formules du numéro 25 où Ton suppose A = 0.
Ces équations admettent en général deux systèmes de solutions ; si l'on écrit que ces deux systèmes sont les mômes, on aura la condition pour que le point M soit sur la droite PQ, c'est-à-dire Téqualion de cette droite.
De la deuxième équation, tirons la valeur de w en supposant 2^0, et transportons dans la première ; on obtient, en ordonnant par rapport à w,
u^az^ — 2b'zx H- a V) -h ^uv{b''z^ — àzx -— b'yz -+- aTxy)
+ î;2(a'3« — 2%3 -h aTy^) = 0,
et pour que cette équation admette une racine double, il faut qu'on ait
{az^ — 26'2x -+-aV)(a'z« — 2%5 h- a^)
— (yz^ — bzx — b'yz -h a'xt/)^ = ;
développons, supprimons le facteur z^ qui n'est pas nul ; il reste
(aV — b^^)x' H- {a'a — b'^)y^ + {aa' — b''')z' 4- ^{b'b" — ab)tjz
+ 2(6"ô — a'b']zx + 2(ô6'— a''ô'')xy = ou
Ax^ H- A'j/2 -H A's^-f- 2B2/Z -h 2B'zx-h SB^a^y = 0.
Le premier membre est carré parfait en vertu des formules du numéro 25 ; sa racine donne le premier membre de l'équation de la droite PQ.
28, Pôle d*une droite par rapport à un système de deux points. — Soient P et Q les deux points donnés et A la droite. Cette droite rencontre PQ en un point H, et le conjugué harmonique de H par rapport à P et Q est par définition le pôle de la droite A par rapport aux points P et Q.
Connaissant l'équation
de l'ensemble des points P et Q, et les coordonnées i/o, t?(„ Wq de la droite A, nous allons former l'équation du pôle de cette droite.
Considérons pour cela une droite quelconque D, de coor-
données w, u, ii\ qui rencontre A en un point M ; toute
droite passant par le point M a des coordonnées de la forme
\u 4- |jlWq, \v 4- \».v^, Iw -+- ^%'o, et le^ valeurs de X et de jjl
correspondant aux droites MP et MQ seront racines de Té-
quation
fi^Xu -h [aWq, )vi? + iiVq, liv -h ijlWq) = ou
Pour que la droite D passe par le pôle de la droite A, il faut que MP et MQ soient conjuguées harmoniques par rapport à
D et A, c'est-à-dire que les valeurs de - tirées de Téquation
précédente soient égales et de signe contraire. On aura donc pour l'équation du pule,
et par conséquent les coordonnées homogènes de ce pôle sont
/Mol /vo ^^ /w'o*
29. Dans le cas où les deux facteurs de /*(«, y, w) sont mis en évidence, si par exemple
f[u, V, IV) = PQ,
P et Q désignant des fonctions linéaires et homogènes de M, v, IV, on verra sans peine que l'équation du pôle de la droite a est
P ^^=^' Pq et Qo désignant ce que deviennent P et Q quand on y remplace w, v, w respectivement par Wq, Vq, Wq,
30. Propriété du triangle. — Soit un triangle ABC; désignons par A', B', C les pôles dhine droite A par rapport aux couples de points (B, G), (C, A), (A, B) ; les droites AA', BB', GC concourent en un même point H. Si M'j B", G" désignent les points de rencontre de A avec les côtés BG^ CA^ AB, les droites B'G', C'A', A'B' passent respectivement par les points A% B", G". Enfin, soient Ai, Bi, Ci les points de rencontre des droites BB* et CC", GG" et kk", kk" et BB"; les droites kki, BBi et GGi passent par le point H.-
Soient
P=zO, Q = 0, R =
les équations des sommets A, B, C du triangle, et Uq, Vq, Wq les coordonnées de la droite A.
L'équation du point A' est
par conséquent le point qui a pour équation
est situé sur la droite AA', et comme son équation est symétrique par rapport à P, Q, R, ce point est aussi situé sur les droites BB' et ce ; c'est le point H.
Les équations des points B' et C sont R
en les retranchant, on obtient
«« Ro ~ '
équation d'un point situé sur B'C et aussi sur BC et sur la droite A ; il en résulte que B'C passe par le point A".
L'équation générale des points
situés sur AA' est alors XP
de môme l'équation générale des points situés sur BB'' est
hQ-h^-
Rn
il en résulte que Téquation du point Cl, intersection des droites AA" et BB^ est
Po ^ Uo Ko " ^
et Ton voit immédiatement que la droite CCi passe par le point H^ puisque tous les points de cette droite ont pour équation
26 COORDO::<XÉES TAXGEXTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLAXE
XR +
en y faisant X = r— , on obtient Téquation du point H.
On dit que la droite A est la polaire du point H par rapport au triangle ; les résultats qui précèdent donnent un moyen très simple de construire le point H connaissant la droite A, ou inversement.
EXERCICES ET NOTES
i. Triangles homologiques. — Si deux triangles ont leurs sommets sur trois droites concourantes ^ les côtés correspondants se coupent en trois points en ligne droite, et réciproquement, si les côtés de deux triangles se coupent en trois points en ligne droite, les sommets correspondants sont deux à deux sur trois droites concourantes.
Soient S = 0, A = 0, B = 0, C = les équations des points S, A, B, C.
Les points A', B', C auront pour équations A'=S-haA = 0, 'B'=S + &B = 0,
C' = S + cG = 0, puisque ces points sont respectivement sur les droites SA, SB, SG.
Les points a, p, y ont alors respectivement pour équations &B — cC = 0, cC— aA = 0,
aA — bB = 0; ils sont en ligne droite.
Établir la réciproque par un procédé analogue.
2. Si les n sommets d'un polygone décrivent des droites concourantes et si n — i côtés passent par n — 1 points fixes, le n« côté passe par un point fixe, ainsi que les diagonales,
3. On considère toutes les coniques passant par deux points et tangentes à deux droites. Démontrer que la corde des contacts passe par un point fixe.
Prenons pour axes les deux droites, ajo» î/o ^t a?i, t/i désignant les coordonnées des deux points.
L'équation générale des coniques sera
2lxy + {ux -hvy-h w)^ = 0.
Ecrivons qu'elle passe par les deux points et éliminons X ; on
trouve
(uxq -h vyQ -4- wY {uxi •+■ vyi -t- w)^
équation qui représente deux points, conjugués harmoniques par rapport aux deux points donnés.
La corde des contacts passe par Tun ou l'autre de ces points.
4. Étant donné un quadrilatèrCy on détermine les pôles d'une droite par rapport aux trois systèmes de points y extrémités des trois diagonales ; démontrer que ces pôles sont en ligne droite. Cas où la droite est à Vinfini,
5. Étant donnée une équation du deuxième degré, f{u, v, w) = 0, qui représente deux points j déterminer la distance de ces deux points.
En conservant les notations des numéros 23 et suivants, [e carré de cette distance est
qu'on peut mettre sous la forme
, A 4- A' — 28" cos 6 a"^
Déduire de là la condition de réalité des deux points.
6. Trouver Véquation du cercle admettant pour diamètre la droite joignant les deux points représentés par Véquation f{u, v^ ic) := 0.
7. Étant donnée Véquation de deux points j f{u, i?, lo) = 0, interpréter la condition f{u, i?, ic) > 0.
8. Soit ABCD un quadrilatère et A une droite quelconque, soit ol le pôle de A par rapport aux points A et B, p le pôle de cette même droite par rapport aux points C et D ; menons la droite aL*^ ; faisons une construction analogue sur les côtés opposés AG, BD et sur les diagonales AD, BG .* les trois droites obtenues passent par le même point.
