Réciproquement^ étant donnée l'équation d'une courbe
cp(ar, y, z) = 0,
on sait que les coordonnées des tangentes à cette courbe satisfont aune équation homogène en w, u, w. On obtient cette condition en éliminant ar, y, z entre les équations
et
wa? H- vî/ -I- îcz = 0.
33. Ainsi, à côté de réquation d'une courbe, c'est-k-dire de la relation à laquelle satisfont les coordonnées de tous les points de cette courbe, vient se placer une nouvelle équation, non moins importante, entre les coordonnées des tangentes à cette courbe.
Nous appellerons cette dernière équation Véquation tangentielle de la courbe , et, pour éviter toute confusion, nous qualifierons de ponctuelle l'équation entre coordonnées de points que Ton considère au début de la géométrie analytique.
En résumé, Véquation tangentielle d'une courbe est la relation que doivent vérifier les coordonnées d'une droite pour que cette droite soit tangente à la courbe, de même que réquation ponctuelle est la relation que doivent vérifier les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la courbe.
On déduit ces équations l'une de l'autre à l'aide des calculs indiqués plus haut ; on en constatera sans peine l'analogie complète.
On voit ainsi qu'une courbe est aussi bien déterminée par son équation tangentielle que par son équation ponctuelle.
34. Classe d'une courbe. — Supposons que l'équation tangentielle d'une courbe soit algébrique, il en sera de même de son équation ponctuelle ; on dit alors que la courbe est algébrique.
Nous allons montrer que l'équation tangentielle a toujours le même degré, quels que soient les axes de coordonnées auxquels on rapporte la courbe.
Nous établirons dans ce but les formules très importantes de transformation de coordonnées qui nous seront très utiles dans la suite.
Soit vx -\-vy + iv =
l'équation d'une droite D rapportée à deux axes de coordonnées xOy faisant l'angle G.
Considérons un deuxième système d'axes, x'0'y\ définis parles coordonnées p, q de Torigine 0' et par les angles a et p que fait Ox avec les directions O'x et 0'y\
L'équation de la droite D dans ce nouveau système sera de
la forme
u'x' -+- vy-}- «'' = 0.
Nous nous proposons de calculer w, v et //' en fonction de u\ V et ic\
Entre les coordonnées ar, y, et a', y' d'un même point, on a les formules connues
x' sin (0 — a) -h y' sin (0 — 3)
sm '
x' sin a H- Xi' sin 3
'•' = — iûTi — -^?'
de telle sorte que l'équation de la droite D par rapport au système x'O'yf sera
[a?'sin(8— a)-^v'sin(0— S) n rj?'sina-f-v'sin S n sm 'J L smO ^J
ou
wsin(6 — a)-hrsina , «sinfO — 3)-i-î;sin3 ,
^^ — r-7 a/H ^ — r^-- ij'-hup+vg^iv = 0.
sm6 smO j r ^
Mais comme nous écrivons aussi l'équation de cette droite
sous la forme
u'aZ-hv'y'-^w' = 0,
on aura
u sin (6 — ol)-\-v sin a
sin
w sin (ô — ^)-+-î; sin p
=--lv',
sin vp-^-vq-hw = hv\
X étant un nombre arbitraire, différent de zéro. En résolvant par rapport à m, v, il\ on obtient
u' sin p — v' sin a
sin(p — a)
— u' sin (e — p) -h v' sin (8 — a)
sm(p — a)
. F— »sinp-h^sin(e~p) , psinx— û'sin(e-a) , 1 L sm(p — a) sin(p — a) J
Telles sont les formules générales de la transformation de
coordonnées.
Si
est Téquation tangentielle d'une courbe C par rapport aux axes xOy, on aura Téquation de cette même courbe par rapport aux axes a?'Oy en remplaçant w, v, iv par leurs valeurs (4) en fonction de w\ v\ lo'.
Comme w, «, w sont des fonctions linéaires et homogènes de w', v\ w\ le premier membre de Téquation de la courbe conservera le même degré.
C'est ce nombre qu'on appelle la classe de la courbe. '
Le nombre 1 disparait dans la substitution.
Si les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et ont le même sens, les formules (4) deviennent
Enfin, on peut aussi définir les directions OV et Oy en donnant les coordonnées de leurs points directeurs ; c'est-àdire les coordonnées des points situés à l'unité de distance de l'origine sur les parallèles à ces directions menées par ce même point 0. Si a, p et a', p' désignent les coordonnées de ces points directeurs, on a les formules de transformation
X = ax' + (x!y' -^p, y= pa:'H-pYH-9;
on en déduit les formules
Iv' = uol' 4- vp\ i (6)
Iw' = up + vq-hw, y d'où l'on peut tirer w, r, te en fonction de w', v\ w'.
35. La classe d'une courbe est égale au nombre de tangentes qu'on peut mener à la courbe par un point quelconque du plan.
Si a?o, î/o, 2q désignent les coordonnées du point, les tangentes issues de ce point à la courbe seront déterminées par
les équations
wa?o -h vy^ -f- îvZq = 0,
et le nombre de solutions est égal au degré de la fonction flu, V, w).
36. On sait qu'en général par un point on peut mener wî(m — 1) tangentes à une courbe de degré w; il en résulte que la classe de cette courbe est en général m{m — i) ; mais ce nombre peut se réduire si la courbe présente des points multiples.
Comme les équations tangentielle et ponctuelle d'une courbe se déduisent l'une de l'autre par des calculs entièrement analogues, le degré d'une courbe de classe m est en général m {m — i); mais il peut se réduire, comme nous le verrons plus loin, si la courbe présente des tangentes multiples.
37. Nous allons maintenant appliquer ces considérations générales à quelques cas particuliers.
Nous avons vu au numéro 23 que si l'on suppose
COORDONNEES.
réquation
f[u,v,iv) = au^ -^-a'v^ -{- a'w^ -h2bvw+Wwu+^b''uv = (7)
représente deux points.
Supposons maintenant a 7^ ; Téquation représente alors une courbe de deuxième classe dont nous allons chercher réquation ponctuelle.
Les relations
/u fv fw
ux-\-vy -h wz = 0, entre lesquelles on doit éliminer w, v, it\ peuvent s'écrire
au -h b"v -+- Vio — Xa? = 0,
' hTu H- dv H- hw — Xy = 0,
h'u 4- 6u -h ol'w — Xz =r 0,
ux-\' vy-{-icz = 0.
Le résultat de l'élimination est
<^quation qui est du deuxième degré ; donc les courbes de deuxième classe sont du deuxième degré.
En développant le déterminant qui figure dans le premier membre, on obtient un résultat fort remarquable, qu'on peut d'ailleurs faire apparaître plus simplement en dirigeant l'élimination d'une manière difTérente.
Résolvons les trois premières équations du système (8) par rapport à u, v, w en appliquant la règle de Cramer, et en désignant comme nous l'avons déjà fait par A, A', A", B, B', B" les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement du déterminant A.
On obtient
^u = 'k{kx-\- B*î/ + B'z),
sv = l{B''x-i-X'y-hBz),
^w = X (B'x H- Bj/ + A"z) ;
il ne reste plus alors qu'à transporter ces valeurs de w, v, w dans la dernière équation du système (8), ce qui donne
o(x, y, z) = Aa?2 h- xy-hM'z^-^^Byz-^-^B'zx -h 2B"xî/ = ; (9)
on a ainsii l'équation ponctuelle de la conique. On vérifiera aisément que
X y z si Ton désigne par A' le discriminant de la fonction o(a?, î/,2),
B' B A" on sait que ^*^
on en conclut que a' ^ 0, et par suite que l'équation (9) représente une yéri table conique.
38. Réciproquement, si Ton donne l'équation ponctuelle d'une conique, l'équation (9), par exemple, on aura l'équation tangentielle par un calcul identique ; on obtiendra l'équation
